Jak rozwiązać takie równanie?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
a456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 7 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: a456 »

\(\displaystyle{ x^3-[x]=3}\)
Gdzie symbol \(\displaystyle{ [t]}\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ t}\).
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: Zahion »

Często fajnie jest coś zauważyć, np.
\(\displaystyle{ x^{3} = 3 + [x]}\).
Co powiesz o \(\displaystyle{ x}\) ?
a456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 7 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: a456 »

Próbowałem już w taki sposób, ale nie wiem co mam powiedziec o samym \(\displaystyle{ x}\). Oczywiście zauważyłem tylko, że \(\displaystyle{ x^3}\) jest całkowite.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: Zahion »

Tak, czyli \(\displaystyle{ x ^{3}}\) należy do liczb całkowitych. Możemy więc zapis, że \(\displaystyle{ x ^{3} = k}\), całkowite, a stąd \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{k}}\). Teraz trzeba troszkę się pobawić w nierówności.
Najlepiej jak poczytasz :
128261.htm
... zc-kw1.pdf
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Jak rozwiązać takie równanie?

Post autor: szachimat »

Myślę, że nie byłoby problemem narysować wykresy funkcji opisanych po lewej i po prawej stronie równania napisanego przez Zahiona. Proste rozwiązanie graficzne pokazuje nam, że wykresy mają jeden punkt wspólny, a wychodzi on z rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^{3}=4}\).
ODPOWIEDZ