Przedstawienie liczby w postaci

[wojteko10]

Witam, nie mogę sobie poradzić z zadaniem:

Udowodnij, że liczbę \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2010}}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{m+1} - \sqrt{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną liczbą naturalną.

Będę wdzięczny za każdą pomoc

[Dilectus]

Szybka i nieprzemyślana wskazówka:

Niech \(\displaystyle{ m=1}\). Mamy wówczas

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2010}=\left( \sqrt{m+1} - \sqrt{m} \right) ^{2010}}\)

[Zahion]

Udowodnij indukcyjnie na początku, że każdą liczbę \(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{2} \right)^{n}}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}}- \sqrt{2b^{2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) to liczby naturalne spełniające \(\displaystyle{ a^{2}-2b^{2}=\left( -1\right)^{n}}\).

[Qń]

Oznaczmy \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{2010}=x}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac 1x = (\sqrt{2}+1)^{2010}}\). Mamy też:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{2010}+(\sqrt{2}+1)^{2010}= 2\sum_{k=0}^{1005}\binom{2010}{2k} 2^{1005-k}}\)
więc w szczególności \(\displaystyle{ x+\frac 1x}\) jest liczbą naturalną parzystą, czyli:
\(\displaystyle{ x+\frac 1x = n}\)
i równoważnie:
\(\displaystyle{ x^2-nx+1=0}\)
Rozwiązania tego równania z uwagi na \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac n2 \pm \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\), a ponieważ nasze \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze niż jeden, więc:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\left( \frac n2\right)^2} - \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\)
co kończy dowód.

Q.