dowod własności liczb trójkątnych

[agusia141414]

Mam problem a mianowicie nie wiem jak zabrać się za dowód pewnej własności liczb trójkątnych, a mianowicie ze kazda liczba postaci \(\displaystyle{ 21, 2211, 222111, 22221111}\), itd jest liczbą trójkątną...

Liczba trójkątna to liczba postaci
\(\displaystyle{ t_{n}= \frac{1}{2}n(n+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\)

[yorgin]

Wskazówka:

\(\displaystyle{ 42=6\cdot 7\\
\\
4422=66\cdot 67\\
\\
444222=666\cdot 667\\
\\
\ldots}\)

[agusia141414]

wiem że

\(\displaystyle{ t _{6} = \frac{1}{2} 6(6+1)=21}\)
\(\displaystyle{ t _{66} = \frac{1}{2} 66(66+1)=2211}\)
\(\displaystyle{ t _{666} = \frac{1}{2} 666(66+1)=222111}\)

ale to nie jest dowód...

[Zahion]

Tak jak napisał yorgin, jest to wskazówka.
Zapisz liczbę jaką otrzymujesz w postaci \(\displaystyle{ N = a_{n}10^{n} + ... + a_{1}10 + a_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\) to \(\displaystyle{ i}\) - ta cyfra.

[agusia141414]

zapisuję:
\(\displaystyle{ 21=2 \cdot 10 ^{1}+10 ^{0}+1}\)
\(\displaystyle{ 2211=2 \cdot 10 ^{3}+2 \cdot 10 ^{2}+10^1+10^0+1}\)
\(\displaystyle{ 222111=2 \cdot 10 ^{5}+2 \cdot 10 ^{4}+10^3+10^2+10^1+10^0+1}\)

[Zahion]

Nie chodzi o tą postać.
\(\displaystyle{ N = 4 \cdot 10^{2n-1} + 4 \cdot 10^{2n-2} + ... + 4 \cdot 10^{n} + 2 \cdot 10^{n-1} + ... + 10 + 2}\). Zgodzisz się, że jest to zapis ogólny ?
Następnie połącz w pary sumy \(\displaystyle{ 4 \cdot 10^{2n -i} + 2 \cdot 10^{n-i}}\) wyciągnij \(\displaystyle{ 2 \cdot 10^{n-i}}\) przed nawias i zauważ, że można dalej coś wyciągnąć.

[agusia141414]

a czy nie zgubiles \(\displaystyle{ 2}\) przy \(\displaystyle{ 10}\) ?

[Zahion]

Tak, powinna tam być. Wiesz jak dalej dokończyć zadanie ?

[agusia141414]

nie... nie do konca... kurcze zamotalam sie.. chyba juz nie mysle

[Zahion]

Okej to może tak
\(\displaystyle{ 4 \cdot 10^{2n-1} + 4 \cdot 10^{2n-2} + ... + 4 \cdot 10^{n} + 2 \cdot 10^{n-1} + ... + 2 \cdot 10 + 2 = \left( 4 \cdot 10^{2n-1} + 2 \cdot 10^{n-1}\right) + \left( 4 \cdot 10^{2n-2} + 2 \cdot 10^{n-2} \right) + ... + \left( 4 \cdot 10^{n} +2 \right) = 2 \cdot 10^{n-1} \left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) + 10^{n-2} \left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) + ... + 2\left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) = 2 \cdot \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( 10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 1\right) = 2 \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} \right) = \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right)}\)

[agusia141414]

rozumiem te przekształcenia, ale nie rozumiem do czego to zmierza, jakie to ma powiązanie z liczbą trójkątną...

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 10^n+1}{3}=\underbrace{6\ldots 6}_{\times (n-1)}7}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 10^n-2}{3}=\underbrace{6\ldots 6}_{\times n}}\)

Iloczyn tych liczb to \(\displaystyle{ \underbrace{4\ldots 4}_{\times n}\underbrace{2\ldots 2}_{\times n}}\).

Teraz widzisz?

[agusia141414]

no wlasnie nie... ;/

[Zahion]

Mamy wyrażenie \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right)}\)
Zauważ, że każda z tych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Niech \(\displaystyle{ 3s = 2 \cdot 10^{n} + 1}\). Wtedy to wyrażenie zapiszemy w postaci \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right) = \frac{3s\left( 3s+3\right) }{9}= s\left( s+1\right)}\), a jako, że na początku wzieliśmy liczbę dwukrotnie większą, więc nasza liczba jest postaci \(\displaystyle{ \frac{s\left( s+1\right) }{2}}\), czyli jest liczbą trójkątna.

[agusia141414]

dziękuję !