Podzielnosc, z kwadratem

[Barbara777]

Ile istnieje calkowitych \(\displaystyle{ a}\), takich ze \(\displaystyle{ a^2-3a-19}\) dzieli sie na 289?

Prosze o podpowiedz, taka dla debila, bo teoria liczb to zupelnie nie moje.
Probowalam tepo tak: \(\displaystyle{ a^2-3a-19=289k}\) i nic madrego nie wyszlo.

[Medea 2]

Podpowiedź jest taka, że \(\displaystyle{ 17^2 = 289}\), więc sprawdź najpierw podzielność przez 17. Okaże się, że \(\displaystyle{ a^2-3a-19}\) dzieli się przez 17 dokładnie wtedy, kiedy \(\displaystyle{ a = 17k + 10}\) dla pewnej \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z}\).

[Barbara777]

Kliknelam "pomogla", bo normalnemu czlowiekowi to by pewnie pomoglo A ja nie widze, jak tu "okazuje sie", ze dzieli sie przez 17 wtw gdy \(\displaystyle{ a=17k+10}\)...Potrzebne tu sa jakies twierdzenia?
I jak z tego mozna cos wywnioskowac o podzielnosci przez \(\displaystyle{ 17^2}\)

[Zahion]

Żeby liczba dzieliła się przez \(\displaystyle{ 289}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 17}\). Skoro dzieli się przez \(\displaystyle{ 17 \Leftrightarrow a = 17k + 10}\) to podstawiamy ową wartość do naszej początkowej postaci. Widać, że wyjdzie nam wtedy, że wynosi ona \(\displaystyle{ 289k^{2} +289k +51}\), a tutaj już nie ciężko o komentarz.

[Barbara777]

Dzieki wam obojgu.
A to jest oczywiste, ze dzieli sie przez 17 wtw gdy a=17k+10? O_O Wstyd, wiem, ale w teorii liczb zawsze wykazywalam niezwykla tepote, uraz jakis mam.

[Zahion]

Nie jest oczywiste i osobiście nawet nie sprawdzałem. Generalnie jedynie co mi przychodzi do głowy to sprawdzenie wszystkich 17 przypadków, czyli możliwych reszt. Ułatwić obliczenia może nam zauważenie, że \(\displaystyle{ a^{2}-3a-19 = a^{2}-3a - 2 - 17}\). Teraz należałoby podstawić pod \(\displaystyle{ a}\) wartości kolejno \(\displaystyle{ 0, 1, ..., 16}\) i sprawdzić czy się dzieli, a dalej uogólnić te reszty dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Może ktoś widzi prostszy sposób.

[Vax]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ a^2-3a-19 = (a-10)^2 + 17(a-7)}\) skąd:

\(\displaystyle{ 17 \mid a^2-3a-19 \iff 17 \mid (a-10)^2 \iff 17 \mid a-10 \iff a = 17k+10}\)