równanie z liczbami względnie pierwszymi

[niebieski93]

znajdź liczby całkowite a i b jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) i \(\displaystyle{ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}= \frac{3}{13}}\) jakiś pomysł na rozwiązanie?

[marika331]

To układ równań:
\(\displaystyle{ a+b=3}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+ab+b ^{2}=13}\)

[niebieski93]

a co wynika z tego, że te liczby są względnie pierwsze?

[Zahion]

Właśnie ten układ równań . Przy czym wypadałoby pokazać właśnie, że wynika to z tego.

[niebieski93]

a jak to pokazać?

[Zahion]

Udowodniłbym stąd, że jeśli \(\displaystyle{ NWD\left( a,b\right)= 1}\), to \(\displaystyle{ NWD\left( a+b, a^{2}+ab+b^{2}\right)=1}\), wtedy miałbyś po prostej dedukcji właśnie ten układ.

[niebieski93]

a skąd wynika, że \(\displaystyle{ NWD(a+b,a^2+ab+b^2)=1}\) ?

[Zahion]

Próbowałbym w ten sposób...
Niech \(\displaystyle{ NWD\left( a+b,a^{2}+ab+b^{2}\right)= d, d \neq 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ d|\left( a+b\right)^{2} - a^{2}-ab-b^{2} = ab}\), stąd \(\displaystyle{ d |ab}\). Mamy z warunku \(\displaystyle{ NWD\left( a, b\right) = 1}\), że \(\displaystyle{ d}\) dzieli co najmniej jedną z liczb \(\displaystyle{ a, b}\) ( co z połączeniem \(\displaystyle{ d | a + b}\), da nam sprzeczność ), bądz \(\displaystyle{ d = ab}\), a to też da nam sprzeczność z połączeniem \(\displaystyle{ ab | a + b}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ d = 1}\).