Pewna wlasność liczb pierwszych

[sputnik]

Witam. Z matematyką nie mam nic wspólnego, dlatego poproszę o wytłumaczenie (i wyrozumiałość) pewnej własności związanej z liczbami pierwszymi, którą szlifując informatyczny C++ przez przypadek dostrzegłem.
Otóż napisałem program który wypisywał w 3 kolumnach następujące liczby:
1) kolumna - liczba pierwsza
2) kolumna - suma składająca się na cyfry od 1 do wypisanej liczby pierwszej
3 )kolumna - iloraz tj owa suma dzielona przez liczbę pierwszą.
Program wypisywał klikadziesiąt takich rzędów w kolejności rosnącej liczby pierwszej od liczby - 2 wzwyż.
Co się rzuciło w oczy laikowi? Otóż trzecia kolumna, czyli ten iloraz to są zawsze liczby całkowite (czyli 0 po eprzecinku) .
Dotyczy to wszystkich przypadków za wyjątkiem pierwszej liczby 2, gdzie suma=3, a wiec iloraz=1.50.
Zrobiłem taki sam program dla wypisywania tych samych działań gdzie za podstawę (1 kolumna) służyła nie liczba pierwsza i tam już iloraz (3 kolumna) był liczbą zakończoną wartością ułamkową (też dziwne, że zawsz to było .50).
Może wydruk:
Dla liczby pierwszej kolejno: liczba pierwsza, suma, stosunek sumy do liczby pierwszej:
2----------3-------------1.50
3----------6-------------2.00
5----------15-------------3.00
7----------28-------------4.00
11----------66-------------6.00
13----------91-------------7.00
17----------153-------------9.00
19----------190-------------10.00
23----------276-------------12.00
29----------435-------------15.00
31----------496-------------16.00
37----------703-------------19.00
41----------861-------------21.00
43----------946-------------22.00
47----------1128-------------24.00
53----------1431-------------27.00
59----------1770-------------30.00
61----------1891-------------31.00
67----------2278-------------34.00
71----------2556-------------36.00
73----------2701-------------37.00
79----------3160-------------40.00
83----------3486-------------42.00
89----------4005-------------45.00
97----------4753-------------49.00
101----------5151-------------51.00
103----------5356-------------52.00
107----------5778-------------54.00
109----------5995-------------55.00
113----------6441-------------57.00
127----------8128-------------64.00
131----------8646-------------66.00
137----------9453-------------69.00
139----------9730-------------70.00
149----------11175-------------75.00
151----------11476-------------76.00
157----------12403-------------79.00
163----------13366-------------82.00
167----------14028-------------84.00
173----------15051-------------87.00
I to samo dla pierwszej kolumny nie będącej liczbą pierwszą:
1----------1-------------1.00
4----------10-------------2.50
6----------21-------------3.50
8----------36-------------4.50
9----------45-------------5.00
10----------55-------------5.50
12----------78-------------6.50
14----------105-------------7.50
15----------120-------------8.00
16----------136-------------8.50
18----------171-------------9.50
20----------210-------------10.50
21----------231-------------11.00
22----------253-------------11.50
24----------300-------------12.50
25----------325-------------13.00
26----------351-------------13.50
27----------378-------------14.00
28----------406-------------14.50
30----------465-------------15.50
32----------528-------------16.50
33----------561-------------17.00
34----------595-------------17.50
35----------630-------------18.00
36----------666-------------18.50
38----------741-------------19.50
39----------780-------------20.00
40----------820-------------20.50
42----------903-------------21.50
44----------990-------------22.50
45----------1035-------------23.00
46----------1081-------------23.50
48----------1176-------------24.50
49----------1225-------------25.00
50----------1275-------------25.50
51----------1326-------------26.00
52----------1378-------------26.50
54----------1485-------------27.50
55----------1540-------------28.00
56----------1596-------------28.50

Zakładam chyba, że to kolejna dziwna własność tych liczb, gdzie przedstawiony wzór zawsze daje liczby całkowite.

[mostostalek]

Przypatrz się dokładniej.. To własność każdej liczby nieparzystej.. Tak samo jak własnością każdej liczby parzystej jest dawać w tym przypadku wartość niecałkowitą.

Można to łatwo wytłumaczyć wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.

\(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)

[sputnik]

Dziękuje, rzeczywiście nie tylko pierwsze ale i nieparzyste.