Sprawdź czy liczba (wyrażenie) jest całkowita

[Kotlety]

Udowodnij że dla \(\displaystyle{ n \in Z}\) (całkowite − co by ktoś nie pomyślał że zespolone XD), wyrażenie podane
poniżej też jest całkowite:
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{5} + \frac{n ^{3} }{3} + \frac{7n}{15}}\)
Zacząłem to robić tak:
Teza \(\displaystyle{ 15 | 3n^{5}+ 5n^{3} + 7n}\)
porozpisywałem i zostało mi dowieść że \(\displaystyle{ 5 | 4n + n^{4}}\). Nie mam pojęcia czy to jest dobrze i jak
to zrobić dalej.
Pomocy

[Premislav]

Hint: \(\displaystyle{ 3n^5 + 5n^3 + 7n =3(n^{5}-n)+5(n^{3}+2n)=3(n^{5}-n)+5(n^{3}-n+3n)}\)
Odpowiednie zastosowanie Małego Twierdzenia Fermata (do \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) oraz \(\displaystyle{ n^{3}-n}\)) lub trochę dłubania pozwala to skończyć.-- 11 mar 2015, o 18:49 --A to, że \(\displaystyle{ 5|4n+n^{4}}\), nie jest w ogólności prawdą, popatrz, co się dzieje np. dla \(\displaystyle{ n=2}\).

[Kotlety]

Dzięki :3
I tak płakać się chce jak się popatrzy na te ileś kartek A4 zapisanych rozkładem tego wielomianu.

Co do tamtego to racja po prostu tak mi wyszło z przekształceń. Bo niby powinno się dać wyciągnąć to 15 lub pokazać coś co się dzieli przez 15. Bo niestety MTF miałem tylko na kółku a nie na lekcjach, a to było zadanie z kartkówki. Wychodzi na to że nauczyciel chyba czegoś nie przemyślał.

[Premislav]

Nie ma za co.
Niekoniecznie było tak, że nauczyciel nie przemyślał, bo o ile MTF tu się przydaje, to można też wyrobić bez niego. \(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\), a któraś z liczb \(\displaystyle{ n,n-2,n-1,n+1,n+2}\) musi się dzielić przez \(\displaystyle{ 5}\) (czyli jeśli założysz, że żadna spośród \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\) się nie dzieli, to \(\displaystyle{ 5}\) musi dzielić \(\displaystyle{ n-2}\) albo \(\displaystyle{ n+2}\), ale wtedy \(\displaystyle{ 5}\) dzieli też \(\displaystyle{ (n-2)^{2}}\) albo \(\displaystyle{ (n+2)^{2}}\) i wystarczy trochę podopisywać, by uzyskać podzielność \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) przez \(\displaystyle{ 5}\)) . I podobnie \(\displaystyle{ n^{3}-n=n(n-1)(n+1)}\) etc.

[Seth Briars]

Można oprzeć się na tożsamości \(\displaystyle{ \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\sum_{k=1}^{n}k^4-(n^2+n+1)\sum_{k=1}^{n-1}k}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieujemnych (całkowitych), dla \(\displaystyle{ n}\) ujemnych (całkowitych) wynika to z wcześniejszego przypadku po drobnej modyfikacji.

[Kotlety]

Dobra racja, ze zmęczenia trochę za dużo błędów zrobiłem. =)
Mówiąc szczerze wierzę już na słowo - sprawdzę sobie to jutro, dziś za dużo już błędów robię.
MTF jest prostszym patentem i o wiele bardziej przydatnym. Dzięki za przypomnienie że coś takiego istnieje. =)
Pozdrawiam,
Kotlet

[Michalinho]

Wychodząc z tego:
\(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\),
za pomocą kongruencji można szybko otrzymać:
\(\displaystyle{ n^2+1\equiv n^2-4\equiv (n-2)(n+2) \ (mod 5)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow n^5-n\equiv (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\equiv 0 \ (mod 5)}\).

[Zahion]

Poza tym \(\displaystyle{ n^{5} - n = \left( n-2\right)\left( n-1\right)n\left( n+1\right)\left( n+2\right) + 5\left( n-1\right)n\left( n+1\right)}\).