Równanie z kwadratami

[Studentka1992]

Proszę o pomoc, jak udowodnić, że nie istnieje taka para liczba \(\displaystyle{ (x,y)}\), gdzie x i y są całkowite, że: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 =2015}\)

[Jan Kraszewski]

Mamy \(\displaystyle{ 2015=5\cdot 13\cdot 31}\). Wiadomo, że liczba naturalna jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) występują tylko w parzystych potęgach. Wobec tego 2015 nie może być sumą dwóch kwadratów, bo dzieli się przez \(\displaystyle{ 31}\), a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 31^2}\).

JK

[bakala12]

Łatwiej:
Zauważ, że \(\displaystyle{ 2015 \equiv 3 \pmod{4}}\)
Zatem suma kwadratów dwóch liczb całkowitych dawałaby resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\), co jak wiemy jest niemożliwe. (dlaczego?)