Równania diofantyczne - Co i jak?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

Witam,
chciałbym się nauczyć jak rozwiązywać równania diofantyczne ale mam z nimi problem.
Przykładowo: \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=3}\) Tutaj po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia mam \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=3}\) Teraz sprawdzam dzielniki \(\displaystyle{ 3}\) i po odpowiednim podstawieniu wychodzi mi wynik (a raczej wyniki).

A teraz przykład, którego rozwiązania nie rozumiem:
\(\displaystyle{ xy+3x-2y=36}\)
\(\displaystyle{ x\left( y+3\right) -2\left( y+3\right) =30}\) \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ -2}\) wyciągnięto przed nawias, ale dlaczego odjęto \(\displaystyle{ 6}\)?
Wprawdzie równanie jest poprawne, ale nie rozumiem dlaczego postąpiono
tak, a nie inaczej.
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left( y+3\right) =30}\) No i w tym momencie już nic nie rozumiem :/
Dalsza część zadania jestem w stanie zrobić, więc nie będę o niej pisał.

Jak się zabrać do np. \(\displaystyle{ x^{3}-y^{3}=1997}\) lub \(\displaystyle{ 2q^{2}=p^{2}-1}\) ?

Nie chodzi mi o wyniki, ale o sam sposób rozwiązania.
Są jakieś ogólne zasady jak postępować w konkretnym przypadku?
Szukałem w googlach, jednak spora część wyjaśnień jest po prostu dla mnie niezrozumiała.
Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 12:03 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

Odjęto \(\displaystyle{ 6}\), ponieważ przeniesiono ją na lewą stronę, żeby równanie doprowadzić do iloczynu dwóch czynników.
Równanie \(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left( y+3\right) =30}\) po wymnożeniu daje Ci \(\displaystyle{ xy +3x - 2y = 36}\), czyli wyjściowe równanie. Gdyby nie odjęto \(\displaystyle{ 6}\), to nie udałoby się sprowadzić do tej postaci.
\(\displaystyle{ x^{3}-y^{3}=1997}\) Różnica sześcianów.
\(\displaystyle{ \left( x-y\right)\left( x^{2}+xy+y^{2}\right) =1997}\). Dodam, że \(\displaystyle{ 1997}\) to liczba pierwsza, ma więc \(\displaystyle{ 2}\) dzielniki.
\(\displaystyle{ 2q^{2}=p^{2}-1}\) To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, bez dodatkowych założeń.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

1. Czyli jeśli mam tego typu równanie (pierwszy przykład) to mogę zastosować: \(\displaystyle{ x(y+a)+b(y+a) = (x+b)(y+a)}\) (gdzie \(\displaystyle{ x;y}\) to szukane, a \(\displaystyle{ a;b}\) to liczby całkowite)? Sprawdziłem to na podobnym przykładzie i wynik wyszedł mi poprawny.

2. \(\displaystyle{ x^{3}-y^{3}=1997}\)
To rozumiem, zastosowano wzór skróconego mnożenia, a skoro \(\displaystyle{ 1997}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ x-y=1}\) lub \(\displaystyle{ x-y=1997}\), tylko co dalej?

3. \(\displaystyle{ 2q^{2}=p^{2}-1}\)
To jest na podstawie jakiejś teorii czy wiesz to z doświadczenia?

Dziękuję za odpowiedź
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 15:47 przez Arksi, łącznie zmieniany 1 raz.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

1. O ile współczynniki przy \(\displaystyle{ x, y}\) są całkowite, to powinno się udać.
2. \(\displaystyle{ x - y = \pm 1, x^{2}+xy+y^{2} = \pm 1997}\) lub \(\displaystyle{ x - y = \pm 1997, x^{2}+xy+y^{2} = \pm 1}\)
Dwa równanie, dwie niewiadome, powinno się udać.
3. Przekształcając to równanie otrzymamy, że \(\displaystyle{ p^{2} - 2q^{2} = 1}\), a to równanie Pella, mające nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

Pomyślałem nad tym i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ x-y=1}\)
\(\displaystyle{ x=y+1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+xy+y^{2}=1997}\) zamieniam \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y+1}\)
\(\displaystyle{ \left( y+1\right) ^{2}+\left( y+1\right) y+y^{2}=1997 \\ y^{2}+2y+1+y^{2}+y+y^{2}=1997 \\ 3y^{2}+3y=1996 \\ 3\left( y^{2}+y\right) =1996 \\
y^{2}+y= \frac{1996}{3}}\)


\(\displaystyle{ \frac{1996}{3}}\) nie jest liczbą całkowitą (nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\)), a \(\displaystyle{ y^{2}+y}\) jest liczbą całkowitą, więc to równanie jest sprzeczne.

Tak by to wyglądało w moim wykonaniu, jednak mam wątpliwości czy zrobiłem to poprawnie.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 16:36 przez Arksi, łącznie zmieniany 2 razy.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

Poprawnie. Natomiast to jest pierwszy przypadek.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

W jakim sensie pierwszy przypadek?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

Kilka postów wyżej napisałem jakie przypadki występują. Jak masz równanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a, b}\) postaci \(\displaystyle{ a \cdot b = 3}\) to masz do rozpatrzenia \(\displaystyle{ 4}\) przypadki, mianowicie \(\displaystyle{ a = 1, b = 3}\) lub \(\displaystyle{ a = 3, b = 1}\) lub \(\displaystyle{ a = -1, b = -3}\) lub \(\displaystyle{ a = -3, b = -1}\).
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

Jeśli dalej piszemy o równaniu \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=1997}\) to ja rozumiem to tak:
\(\displaystyle{ y}\) - liczba całkowita
\(\displaystyle{ \frac{1996}{3}}\) - liczba wymierna, która nie jest liczbą całkowitą
\(\displaystyle{ y^{2}+y}\) - liczba całkowita
liczba całkowita \(\displaystyle{ \neq}\) liczba która nie jest liczbą całkowitą
Wychodzi na to, że nie ma \(\displaystyle{ y}\) , które spełniają te równanie, więc nie mam co tu sprawdzać.
Mam tu 4 przypadki (\(\displaystyle{ 1 \cdot 1997}\),\(\displaystyle{ 1997 \cdot 1}\),\(\displaystyle{ -1 \cdot -1997}\),\(\displaystyle{ -1997 \cdot -1}\)), ale wychodzi liczba, która nie jest całkowita, więc jest to równanie sprzeczne lub nie jest równaniem diofantycznym.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 17:11 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

Zacznijmy od tego, że nie rozwiązujemy równania \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3} = 1997}\).
Sprawdzasz jeden, szczególny przypadek, dla którego to równanie nie ma akurat rozwiązań, nie oznacza to, że w trzech innych przypadkach to równanie nie będzie miało rozwiązania.
Przykładowo dla \(\displaystyle{ x +y = -1, x^{2} +xy +y^{2} = -1997}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left( y-1\right)^{2}+\left( y-1\right)y +y^{2} = -1997}\), czyli \(\displaystyle{ 3y^{2}-3y = -1998}\).
Prawa strona jest już podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), mimo wszystko równanie w tym przypadku też nie ma rozwiązań. Ale musisz to wykazać.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

Już rozumiem o co chodzi.

Czyli pozostały mi jeszcze 2 możliwości:
\(\displaystyle{ x-y=1997}\) i \(\displaystyle{ x-y=-1997}\) (i analogicznie do drugiego równania)

Dla: \(\displaystyle{ x-y=1997}\)
\(\displaystyle{ x=y+1997}\)
\(\displaystyle{ (y+1997)^{2}+(y+1997)y+y^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+1997y+1997y+3988009+y^{2}+1997y+y^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 3y^{2}+5991y+3988009=1}\)
\(\displaystyle{ 3y^{2}+5991y=-3988008}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+1997y=-1329336}\)

I tu już nie mam pomysłu co zrobić :/

-- 6 mar 2015, o 18:02 --

Co do \(\displaystyle{ x-y=-1}\)
\(\displaystyle{ 3y^{2}-3y=-1998}\)
\(\displaystyle{ y^{2}-y=666}\)
Tu już chyba mogę to "ręcznie" sprawdzić (czy jednak nie mogę?).
Najbliższy kwadrat liczby całkowitej o większej wartości to \(\displaystyle{ 676 = 26^{2}}\)
\(\displaystyle{ 676-26=650}\)
\(\displaystyle{ 650 \neq 666}\)
Większe liczby = większe kwadraty, czyli z każdą następną liczbą będę się jeszcze bardziej oddalał od wyniku.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2015, o 18:03 przez Arksi, łącznie zmieniany 1 raz.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

Jak przerzucisz na lewą stronę liczbę po prawej stronie, to otrzymasz, że delta jest mniejsza od zera, czyli brak rozwiązań.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

\(\displaystyle{ y^{2}+1997y+1329336=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 1997^{2}-4 \cdot 1329336}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 3988009-5317344}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -1329335}\)
Ostatnio zmieniony 7 mar 2015, o 01:45 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Delta to \Delta.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Zahion »

W obu przypadkach masz deltę ujemną, czyli brak rozwiązań.
Arksi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 mar 2015, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - Co i jak?

Post autor: Arksi »

A co się dzieje w przypadku, gdy delta \(\displaystyle{ \ge 0}\)? Jak przykład:
1. \(\displaystyle{ x{2}+3x+\left( -10\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 3^{2}+\left( -4\right) \cdot 1 \cdot \left( -10\right) =9+40=49}\)

2. \(\displaystyle{ 2x^{2}+4x+2=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2=0}\)

Skoro delta \(\displaystyle{ \ge}\) ,czy mogę z niej korzystając dojść do wyniku? (z jej pomocą)
Ostatnio zmieniony 7 mar 2015, o 01:43 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
ODPOWIEDZ