Równanie z kongruencją

[Lafoniz]

Próbowałem rozwiązać następujące zadanie:
Znajdź ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 3^{100}}\).
Stwierdziłem, że wystarczy znaleźć rozwiązanie następującej kongruencji: \(\displaystyle{ 3^{100}\equiv X \pmod{10}}\), wówczas \(\displaystyle{ X}\) będzie ostatnią cyfrą tej liczby.

W jaki sposób rozwiązać tego typu kongruencje, z czego skorzystać? Po drugie, jaki sposób od mojego jest lepszy do wyznaczania cyfr liczby?

[octahedron]

\(\displaystyle{ x\equiv 3^{100}\pmod{10}\\
x\equiv 9^{50}\pmod{10}\\
x\equiv (-1)^{50}\pmod{10}\\
x\equiv 1\pmod{10}\\}\)
Można też zauważyć, że kolejne potęgi trójki kończą się na \(\displaystyle{ 3,9,7,1,3,...}\), więc powtarzają się co cztery.

[Milczek]

Mianowicie tak :
\(\displaystyle{ 3^2\equiv (10-1)\equiv -1\pmod{10}\\ (3^{2})^{50} \equiv -1^{50} \equiv 1 \pmod {10}}\).
Więc na to wychodzi że ostatnią cyfrą jest 1.
Co do kongruencji w bardzo prosty sposób tu masz opisane podstawy : ... -kolor.pdf.

[Lafoniz]

Mianowicie tak :
\(\displaystyle{ 3^2\equiv (10-1)\equiv -1\pmod{10}\\ (3^{2})^{50} \equiv -1^{50} \equiv 1 \pmod {10}}\).
Więc na to wychodzi że ostatnią cyfrą jest 1.
Co do kongruencji w bardzo prosty sposób tu masz opisane podstawy : ... -kolor.pdf.

Bardzo ciekawe pismo, dzięki wielkie - nie sądziłem, że gimnazjaliści są już zaznajomieni z pojęciem kongruencji, artykuł o niej znalazłem na stronie pewnego matematyka