Udowodnienie kiedy liczby są przystające

[Lafoniz]

Chciałbym sprawdzić czy mój dowód orzekający kiedy dane liczby całkowite są przystające jest poprawny. Również prosiłbym o cenne wskazówki, które mogłyby go ulepszyć, uczynić go bardziej czytelnym itd.

Niech:
\(\displaystyle{ a,b,c,d,x,y,n \in Z \wedge n > 0 \wedge c,d \in \left\langle 0,n-1\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ a = xn + c}\) oraz \(\displaystyle{ b = yn + d}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ a - b = xn + c - ( yn + d) = n(x - y) + (c - d)}\)
czyli różnica \(\displaystyle{ a - b}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ c - d}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\),
tzn. \(\displaystyle{ n | ( c - d) \Leftrightarrow c = d}\)

Co na mocy definicji kongruencji oznacza, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są przystające wtedy, gdy reszty z dzielenia liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) przez \(\displaystyle{ n}\) są równe.

[Milczek]

Pisząc przystające masz na myśli to że dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) , czy dobrze Cię rozumiem?
Liczby \(\displaystyle{ c , d}\) to są reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) liczb odpowiednio \(\displaystyle{ a , b}\).

Ogólnie to jest poprawnie ale chyba powinieneś jeszcze udowodnić z drugą stronę.Tutaj pokazałeś że jeśli różnica dwóch liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest podzielna prze \(\displaystyle{ n}\) to ich reszty z dzielenia prze \(\displaystyle{ n}\) są takie same. Wydaje mi się że powinieneś jeszcze udowodnić co gdy reszty z dzielenia są równe.Czyli jak wyżej napisałem. Liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są do siebie przystające wtedy i tylko wtedy gdy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) tych liczb są takie same. I teraz wychodzisz od tej drugiej części twierdzenia i dochodzisz do pierwszej.