Całkowite rozwiązania równania

[DonVitoMarco]

Mam zadanie:
Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania równania: \(\displaystyle{ 6x+10y+5z =1}\)
Początek mojego rozwiązania wygląda tak:
\(\displaystyle{ 6x+10y+5z =1}\)
\(\displaystyle{ w=2y+z}\)
\(\displaystyle{ 6x+5w=1}\)
Zauważam bez liczenia z algorytmu Euklidesa, że:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 6 - 1 \cdot 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ x_{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ w_{0} = -1}\)
\(\displaystyle{ x = x_{0} + \frac{k}{d} b = 1 + 5k}\)
\(\displaystyle{ w = w_{0} - \frac{k}{d} a = -1 - 6k}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 + 5k \\w = -1 - 6k \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ w = -1 - 6k}\)
\(\displaystyle{ 2y + z = -1 - 6k}\)
I tutaj pojawia się mój problem jak wyznaczyć rozwiązania dalej dla y?

[tajnosc]

Można znaleźć rozwiązania \(\displaystyle{ 2y+z=1}\)

Możemy uznać, że \(\displaystyle{ y = 1+k}\), \(\displaystyle{ z=-1-2k}\).

No a żeby znaleźć rozwiązania \(\displaystyle{ 2y+z=-1-6k}\), to mnożymy \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) przez \(\displaystyle{ (-1-6k)}\).

Wyjdzie bodaj \(\displaystyle{ y=-6k^{2}-7k-1}\), a \(\displaystyle{ z=12k^{2}+8k+1}\)

[Michalinho]

Wyjdzie bodaj \(\displaystyle{ y=-6k^{2}-7k-1, z=12k^{2}+8k+1}\)

To nie da na pewno wszystkich rozwiązań, bo mamy równanie płaszczyzny. Nie znam się na tym do końca, ale moja propozycja to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+5k \\ y=m \\ z=-2m-1-6k \end{cases}}\),
gdzie \(\displaystyle{ m,k}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi.