Ile dzielników ma liczba

[cz0rnyfj]

Cześć, mam dla Was zadanie które co prawda rozwiązałem ale nie jestem pewien czy poprawnie to zrobiłem.

Ile dzielników w zbiorze liczb naturalnych ma liczba \(\displaystyle{ 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8?}\)

Najpierw rozłożyłem tą liczbą na czynniki (czy jak to nazwać)

\(\displaystyle{ 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 2^{6} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 7^{1}}\)

Później to przekształciłem do postaci \(\displaystyle{ 2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} \cdot 7^{d}}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \left\{ 0,1...6\right\} \wedge b=c=d \wedge b \in \left\{ 0,1\right\}}\)

I teraz z reguły mnożenia wybieram elementy które mają tworzyć dzielnik tej liczby
\(\displaystyle{ 7 \cdot 2^{3} = 56}\)

Dobrze rozwiązałem to zadanie?
Może istnieje jakiś inny sposób rozwiązanie tego?

[Zahion]

Poprawnie rozwiązane.

[Igor V]

W ramach przyspieszenia.
Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki mamy że :
\(\displaystyle{ n=\prod_{m=1}^{k} p _{m} ^{\alpha_m}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ p _{1},p _{2},...,p _{k}}\) to są różne liczby pierwsze ,oraz \(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{k}\in \NN _{+}}\)

Wtedy liczba dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) to :
\(\displaystyle{ w(n)=\prod_{m=1}^{k}(\alpha _{m}+1)}\)

Samo wyprowadzenie tego wzoru też najczęściej polega na zliczaniu kombinacji.

[cz0rnyfj]

Dzięki Igor. Na ten moment to dla mnie zbyt skomplikowany sposób bo nie umiem korzystać z tego symbolu. Na pewno do tego wrócę za jakiś czas

[Igor V]

cz0rnyfj, tu nie ma nic strasznego ,to po prostu symbol iloczynu - pi (posługujesz się nim zupełnie analogicznie jak dla sumy jest sigma) ,wyrażający dość znane uogólnienie Twojego pomysłu :
\(\displaystyle{ n=\prod_{m=1}^{k} p _{m} ^{\alpha_m}= p _{1} ^{\alpha_1} \cdot p _{2} ^{\alpha_2} \cdot ... \cdot p _{k} ^{\alpha_k}}\)
\(\displaystyle{ w(n)=\prod_{m=1}^{k}(\alpha _{m}+1)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1) \cdot ... \cdot (\alpha_k+1)}\)