dowód co do braku rozwiązań

[a456]

Jak pokazać, że równanie \(\displaystyle{ a^2+b^2=3c^2}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych różnych od zera?

[Premislav]

Zauważ i wykaż, że \(\displaystyle{ 3|a^{2}+b^{2} \Rightarrow 3|a^{2} \wedge 3|b^{2}}\) dla \(\displaystyle{ a,b}\)całkowitych (wsk. jakie mogą być reszty z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez \(\displaystyle{ 3}\)?). Dalej klimaty podobne jak przy dowodzie niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

[musialmi]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a,b}\) są naturalne i pokażmy, że niemożliwe, żeby \(\displaystyle{ c}\) było. Jeśli by było, to musiałoby spełniać \(\displaystyle{ a^2+b^2=\left( \sqrt 3 c\right) ^2}\). Zajmijmy się lewą stroną. Kwadrat liczby naturalnej jest naturalny. Suma liczb naturalnych jest naturalna. Więc \(\displaystyle{ \left( \sqrt 3 c\right) ^2}\) jest naturalna. Czyli \(\displaystyle{ \sqrt 3 c}\) jest pierwiastkiem liczby naturalnej. Żeby tak było, to \(\displaystyle{ \sqrt 3 c}\) musi być naturalna. A czy jakaś liczba naturalna pomnożona przez \(\displaystyle{ \sqrt 3}\) da liczbę naturalną? Nie.

[a456]

Premislav, co do tego, to już to zauważyłem, nawet \(\displaystyle{ 3|a}\) oraz \(\displaystyle{ 3|b}\) ale właśnie nie wiem jak to dalej robić.

musialmi, tutaj już całkiem nie rozumiem. gdyby po prawej stronie było \(\displaystyle{ 2c^2}\) to napisałbyś, że \(\displaystyle{ \sqrt2 c}\) jest pierwiastkiem liczby naturalnej? oczywiście wtedy by się to nie zgadzało np. dla \(\displaystyle{ a,b,c=1}\)

[musialmi]

To dobrze, że nie rozumiesz, bo zrąbałem Przepraszam.

[Hydra147]

Pierwiastek liczby naturalnej oczywiście nie może być naturalny :p. Natomiast jeśli nie jest to musi być niewymerny. Co do dalszego rozumowania to całe rozwiązanie wypadałoby poprzedzić następującym wstępem:
Możemy założyć b.s.o., że \(\displaystyle{ (a,b,c)=1}\). Gdyby \(\displaystyle{ (a,b,c)=d>1}\), to wówczas liczby \(\displaystyle{ a'= \frac{a}{d}, b'= \frac{b}{d}, c'= \frac{c}{d}}\) są całkowite i również spełniają równanie w tezie zadania.
Dalej rozumujesz normalnie dochodząc do wniosku, że \(\displaystyle{ 3|a, 3|b}\), z czego z kolei wnioskujesz, że \(\displaystyle{ 9|a^2}\) i \(\displaystyle{ 9|b^2}\) czyli \(\displaystyle{ 9|a^2+b^2=3c^2}\) czyli \(\displaystyle{ 3|c}\) i sprzeczność, bowiem \(\displaystyle{ (a,b,c) \ge 3}\).

[a4karo]

.... Czyli \(\displaystyle{ \sqrt 3 c}\) jest pierwiastkiem liczby naturalnej. Żeby tak było, to \(\displaystyle{ \sqrt 3 c}\) musi być naturalna. A czy jakaś liczba naturalna pomnożona przez \(\displaystyle{ \sqrt 3}\) da liczbę naturalną? Nie.

\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot 1}\) jest pierwiastkiem liczby naturalnej, ale \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot 1}\) nie jest naturalna.

[Zahion]

Z warunku rozkładalności liczby na sumę dwóch kwadratów mamy od razu sprzeczność.
Liczba daje się rozłożyć na sumę kwadratów dwóch liczb, jeśli w jej rozkładzie na czynniki pierwsze nie występuje żadna liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) w potędze nieparzystej. Oczywiście nie jest ciężko dostrzec, że wyrażenie \(\displaystyle{ 3c^{2}}\) nie spełnia tego warunku.