Znów rozkłady

[mol_ksiazkowy]

a) Czy istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>19}\) będąca sumą \(\displaystyle{ u^3+ w^3}\)
gdy \(\displaystyle{ u, w \in Q \backslash Z}\)?
b) wyznaczyć taki rozkład dla \(\displaystyle{ n=6}\)
c) Czy jest nieskończona ilość liczb całkowitych tak rozkładalnych ?
d) wskazać o ile istnieje \(\displaystyle{ n}\) tak nierozkładalne
* \(\displaystyle{ 19= \left( \frac{3}{2} \right) ^3+ \left( \frac{5}{2} \right) ^3}\)

[kicaj]

a) \(\displaystyle{ 37=\left(\frac{10}{3}\right)^3 +\left(-\frac{1}{3}\right)^3}\)

b) \(\displaystyle{ 6=\left(\frac{17}{21}\right)^3 +\left(\frac{37}{21}\right)^3}\)

c) \(\displaystyle{ xy(x+y) =\left(\frac{x^3 -y^3 +6x^2 y +3xy^2}{3(x^2 +xy +y^2)}\right)^3 +\left(\frac{y^3 -x^3 +6y^2 x +3yx^2}{3(x^2 +xy +y^2)}\right)^3}\)

[bakala12]

d) Istnieją \(\displaystyle{ n}\) których tak przedstawić się w postulowanej postaci nie uda. W szczególności takimi liczbami są sześciany liczb naturalnych.

Ukryta treść:    

Wprowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ n=s^{3}, \quad u=\frac{m}{k}, \quad w=\frac{l}{k}}\) gdzie \(\displaystyle{ s,m,k,l \in \mathbb{Z}, m,l \neq 0}\). Nie tracąc ogólności można bezkarnie założyć iż \(\displaystyle{ s,k>0}\). Załóżmy, że uda się nasz rozkład, tzn, że zachodzi \(\displaystyle{ s^{3}=\frac{m^{3}}{k^{3}}+\frac{l^{3}}{k^{3}}}\), zatem \(\displaystyle{ \left(sk\right)^{3}=m^{3}+l^{3}}\).
I teraz przypadki:
1. \(\displaystyle{ m,l>0}\). Wówczas sprzeczność z Wielkiego Twierdzenie Fermata.
2. \(\displaystyle{ m>0, l<0}\). Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \left(sk\right)^{3}+l^{3}=m^{3}}\) i znowu sprzeczność z Wielkiego Twierdzenia Fermata.
W przypadku \(\displaystyle{ m<0,l>0}\), dostajemy sprzeczność analogicznie.
Przypadek \(\displaystyle{ m,l<0}\) nie jest możliwy.
W wszystkich przypadkach otrzymujemy sprzeczność, zatem taki rozkład nie istnieje.