dwie ostatnie cyfry

[patryk00714]

Witam, jak obliczyć dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 9^{9^9}}\)?

Pozdrawiam

[Zahion]

Należy obliczyć \(\displaystyle{ \pmod{100}}\) tej liczby.

[Premislav]

Jeśli znasz twierdzenie Eulera, to można policzyć \(\displaystyle{ \phi(100)=\phi(2^{2}\cdot 5^{2})=\phi(2^{2})\cdot\phi(5^{2})=2\cdot 20=40}\). Następnie zauważmy, że \(\displaystyle{ 9^{8}-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 40}\)... Z tą uwagą policz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 9^{9}}\) przez \(\displaystyle{ 40}\) i zastosuj tw. Eulera. Zostanie do policzenia, o ile się nie mylę w obliczeniach, reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 9^{9}}\) przez \(\displaystyle{ 100}\), co nie jest trudne.

Również pozdrawiam.

[patryk00714]

Czyli to będzie tak:

\(\displaystyle{ 9^9 \equiv 9 (\text{mod} 40)}\)

\(\displaystyle{ 9^{9^9}= 9^{40k+9}=9^9 \cdot 9^{40k} = 9^9 \equiv 89(\text{mod}100)}\)