Dzielniki pierwsze z podanego zbioru

[Zahion]

Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_{1},...a_{2006}}\)takie, że jedynymi dzielnikami pierwszymi każdej z nich są liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2,3,5\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < ... < a_{2006}}\). Wówczas :
a) \(\displaystyle{ a_{2006} \ge 2^{2005}}\)
b) Średnia geometryczna tych liczb jest większa od \(\displaystyle{ 2^{1002}}\)
c) Istnieją dwie liczby \(\displaystyle{ a_{k}, a_{l} (1 \le k \le l \le 2006 )}\)takie, że iloczyn \(\displaystyle{ a_{k}\cdot a_{l}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Które z podanych podpunktów są prawdzie, które fałszywe i dlaczego.

[bakala12]

Punkt a) nieprawda

Dowód::    

Każdą liczbę \(\displaystyle{ a_{i}}\) można jednoznacznie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a_{i}=2^{\alpha}\cdot 3^{\beta} \cdot 5^{\gamma}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \log_{5} 2>0,4}\), a zatem \(\displaystyle{ \log_{5}2^{2005}}>802}\). Rozważmy równanie \(\displaystyle{ x+y+z=802}\). Posiada ono w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych dokładnie \(\displaystyle{ { 802+3-1 \choose 3-1} > 2006}\) rozwiązań. Weźmy teraz dowolne \(\displaystyle{ 2006}\) rozwiązań (oczywiście są one niezerowe) tego równania i dla każdego rozwiązania \(\displaystyle{ \left(x,y,z \right)}\) obliczmy \(\displaystyle{ 2^{x}\cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}\). Zauważmy, że każda taka liczba jest większa od \(\displaystyle{ 1}\) oraz mniejsza niż \(\displaystyle{ 5^{x+y+z}=5^{802}<5^{\log_{5}2^{2005}}=2^{2005}}\). Zauważmy, że każde z \(\displaystyle{ 2006}\) rozwiązań wyznacza w jednoznaczny sposób liczbę postaci \(\displaystyle{ 2^{x}\cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}\) i każde rozwiązanie inną liczbę (bo \(\displaystyle{ 2,3,5}\) są parami względnie pierwsze). Wobec powyższego otrzymaliśmy \(\displaystyle{ 2006}\) parami różnych liczb mniejszych niż \(\displaystyle{ 2^{2005}}\). Obierzmy te liczby jako \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},\dots a_{2006}}\). Liczby te spełniają postawione w zadaniu warunki, jednakże \(\displaystyle{ a_{2006}<2^{2005}}\).

-- 27 lut 2015, o 21:29 --

Punkt b) nieprawda

Ukryta treść:    

Rozważmy nabór liczb:
\(\displaystyle{ a_{1}=2, \quad a_{2}=3, \quad a_{3}=5 \\
a_{4}=2^{1}, \quad a_{5}=3^{2}, \quad a_{6}=5^{2} \\
\vdots \\
a_{2005}=2^{669}, \quad a_{2006}=3^{669}}\)
Oczywiście spełniają one założenia zadania. Obliczmy średnią geometryczną tych liczb:
\(\displaystyle{ \sqrt[2006]{\prod_{i=1}^{2006}a_{i}}=\sqrt[2006]{2^{224115}\cdot 3^{224115} \cdot 5^{223446}}<\sqrt[2006]{5^{671676}}<5^{335}}\).
Zauważmy teraz, że prawdziwe są nierówności: \(\displaystyle{ 5^{3}<2^{7}}\) oraz \(\displaystyle{ 5^{2}<2^{5}}\), a z nich płynie wniosek, że \(\displaystyle{ 5^{335}<2^{782}}\). Widać więc, że punkt b) również nie jest prawdziwy.

-- 27 lut 2015, o 21:39 --

Jak rozumiem te liczby które mnożymy w punkcie c) są różne?
Tak czy inaczej jest to prawda

Ukryta treść:    

Rozważmy liczbę \(\displaystyle{ 2^{x}\cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}\). Do tego aby liczba taka była kwadratem liczby całkowitej, potrzeba i wystarcza, aby liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) były wszystkie parzyste. W uporządkowanej trójce mamy \(\displaystyle{ 8}\) możliwości na parzystość i nieparzystość \(\displaystyle{ x,y,z}\) (niejasno to napisałem, ale wiadomo o co chodzi, jest osiem możliwości: ppp,ppn,pnp,npp,nnp,npn,pnn,nnn gdzie p-parzysta, n-nieparzysta). Wobec powyższego już wśród \(\displaystyle{ 9}\) liczb tej postaci znajdą się dwie o takim samym "układzie" parzystości wśród \(\displaystyle{ x,y,z}\). Zatem iloczyn takich dwóch liczb jest kwadratem liczby całkowitej.