Podzielność wyrażenia dla stałego m

[0bcy_astronom]

Dzień dobry mam taki oto problem.

Może najgorszy z matematyki nie jestem ale mam problem w pracy
którego totalnie nie jestem w stanie rozwiązać... nawet nie wiem od której strony go ugryźć...

Chodzi o liczby całkowite... czy istnieje jakiś wzór bądź zależność na wyznaczenie liczb całkowitych z pewnego wyrażenia?

konkretnie problem wygląda tak.
mam następujące wyrażenie

\(\displaystyle{ {X _{n} = {n+\sqrt{n^2-m} }}}\)

Chodzi o to by znaleźć... nie wiem... zbiór, zalezność, wzór... na to, by sprawdzić czy istnieje taki rodzina wyrazów dla których nasze powyzsze wyrażenie w którym dla stałemgo \(\displaystyle{ m}\) oraz dla \(\displaystyle{ {n \subset C \wedge n \in \left\langle 2; m \right\rangle}}\),wartość \(\displaystyle{ X_{i}}\) przyjmuje wartość całkowitą.

Jeżeli brzydko to opisałem, bądź opis jest nieczytelny to opisze to prościej swoimi słowami.
Mamy powyższe wyrażeniem - wybieramy dowolne {m} które jest stałe. czy istnieje jakiś sposób by sprawdzić czy dla \(\displaystyle{ {n \subset C \wedge n \in \left\langle 2; m \right\rangle}}\) liczba \(\displaystyle{ X_{n}}\) była całkowita

[Medea 2]

Okej. Pytasz więc, czy dla ustalonego \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ 2 \le n \le m}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{n+m} \in \mathbb Z}\). Mam złą wiadomość - jeżeli \(\displaystyle{ m \ge 3}\), to nici z tego. Dlaczego? Bo \(\displaystyle{ \sqrt{m+2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{m+3}}\) nie mogą być jednocześnie kwadratami.

[0bcy_astronom]

Dziękuje i widzę że w pierwszej częsci zjadłem kwadrat przy iksie a do tego napisałem tam plusa zamiast minusa
Już to poprawiłem.

Poza tym chyba źle zrozumiałeś moje pytanie

Może więc je zmodyfikuje

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\)
która ma wzór
\(\displaystyle{ f(x)=x+ \sqrt{x^2 - A}}\)

Znajdź sposób by określić czy stnieje taka wartość \(\displaystyle{ x}\) dla stałego \(\displaystyle{ A}\) (gdzie \(\displaystyle{ x,a \subset C}\)
aby funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmowała wartości CAŁKOWITE.

Przykład

\(\displaystyle{ f(3) = 3 + \sqrt{3^2 - 8} = 3 + \sqrt{9 - 8} = 3 + 1 = 4}\)

A więc nasza funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ A=8}\) posiada takiego \(\displaystyle{ x}\), dokładnie \(\displaystyle{ x=3}\) że wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) jest całkowita.

No i chodzi o to by znaleźć jakiś wzór czy abyście dali mi link gdzie jest wjaśnione albo pokazane jak sie sprawdza czy wyrażenie posiada rozwiązania całkowite... bo samo wyrażenie jest o wiele trudniejsze, ja je tutaj przedstawiłem w prostej postaci.

PS - wiem że kolejne liczby nie będą całkowite chodzi mi o wyznaczenie czy dla kolejnych liczb od 2 do m istnieje jakakolwiek liczba dająca całkowite rozwiązanie.

[Medea 2]

Dalej nie rozumiem Pytasz o to, dla jakich \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-A}\) jest kwadratem. Czyli: \(\displaystyle{ A = x^2-y^2 = (x-y)(x+y)}\). Mając \(\displaystyle{ A}\) rozkładasz ją na czynniki pierwsze i próbujesz rozwiązać układ \(\displaystyle{ x-y =d}\), \(\displaystyle{ x+y = A/d}\).

[0bcy_astronom]

Hehe spoko już tłumaczę o co mi chodzi na konkretnym przykładzie ale już na wzorze który został opracowany u nas w robocie

\(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - 4 \cdot A}}\)

i teraz tak - przychodzi szef i mówi: "sprawdź nasz wzór dla A = 8"

i teraz wiemy że \(\displaystyle{ n \subset C}\)

I sprawdzamy kolejno od n = \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ n = 8}\) (bo \(\displaystyle{ n \in <2;A>}\))

\(\displaystyle{ f(2)=2+ \sqrt{2^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{4 - 32} = 2+ \sqrt{-28}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(3)=3+ \sqrt{3^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{9 - 32} = 2+ \sqrt{-23}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(4)=4+ \sqrt{4^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{16 - 32} = 2+ \sqrt{-16}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(5)=5+ \sqrt{5^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{25 - 32} = 2+ \sqrt{-4}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(6)=6+ \sqrt{6^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{36 - 32} = 2+ \sqrt{4} = 2+ 2 =4}\) SUKCES - LICZBA CAŁKOWITA
\(\displaystyle{ f(7)=7+ \sqrt{7^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{49 - 32} = 2+ \sqrt{17}}\) liczba niecałkowita
\(\displaystyle{ f(8)=8+ \sqrt{8^2 - 8 \cdot 4} = 2+ \sqrt{64 - 32} = 2+ \sqrt{32}}\) liczba niecałkowita

czyli nasz wzór mający postać \(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - 4*A}}\) dla A = 8 posiada takie n = 6, że nasze wyrażenie \(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - 4\cdotA}}\) przyjmie liczbę całkowitą.

I moge powiedzieć: szefie "M" równe 8 spełnia twoje kryteria ponieważ wśród wyników pojawi się wynik całkowity

Dla przykładu jeżeli szef powie abym sprawdził do 11 to wtedy obliczenia wyglądają następująco

\(\displaystyle{ f(2)=2+ \sqrt{2^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{4 - 44} = 2+ \sqrt{-40}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(3)=3+ \sqrt{3^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{9 - 44} = 2+ \sqrt{-35}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(4)=4+ \sqrt{4^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{16 - 44} = 2+ \sqrt{-28}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(5)=5+ \sqrt{5^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{25 - 44} = 2+ \sqrt{-19}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(6)=6+ \sqrt{6^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{36 - 44} = 2+ \sqrt{-8}}\) BRAK
\(\displaystyle{ f(7)=7+ \sqrt{7^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{49 - 44} = 2+ \sqrt{5}}\) liczba niecałkowita
\(\displaystyle{ f(8)=8+ \sqrt{8^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{64 - 44} = 2+ \sqrt{20}}\) liczba niecałkowita
\(\displaystyle{ f(9)=9+ \sqrt{9^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{81 - 44} = 2+ \sqrt{37}}\) liczba niecałkowita
\(\displaystyle{ f(10)=10+ \sqrt{10^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{100 - 44} = 2+ \sqrt{56}}\) liczba niecałkowita
\(\displaystyle{ f(11)=11+ \sqrt{10^2 - 11 \cdot 4} = 2+ \sqrt{121 - 44} = 2+ \sqrt{77}}\) liczba niecałkowita

I wtedy mówie - szefie porażka - niestety dla M=11 nie istnieje taka liczba n że po podstawieniu jej do naszego wzoru nasza funkcja osiągnie liczbę całkowitą

Rozumiesz już?

Pozdro!

[Kera]

może tak:
\(\displaystyle{ \frac{A}{n ^{2} }= y}\)
\(\displaystyle{ \frac{y+n ^{2} }{2}=x}\)
\(\displaystyle{ x+ \sqrt{x ^{2}-A } =z ^{2}}\)

jeżeli A jest podzielne przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) , to obliczysz \(\displaystyle{ x}\)

[Michalinho]

Rozpatrzmy przypadki modulo 4:
\(\displaystyle{ 1 ^ \circ m \equiv 0 (mod 4)}\):
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n=\frac{m}{4} +1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^ \circ m \equiv 1 (mod 4) \vee m \equiv 3 (mod 4)}\):
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n=\frac{m+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3 ^ \circ m \equiv 2 (mod 4)}\):
Kwadraty liczb całkowitych przystają tylko do \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) modulo \(\displaystyle{ 4}\).
Stąd \(\displaystyle{ n^2-m \equiv 3 (mod 4) \vee n^2-m \equiv 2 (mod 4)}\), a więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Ostatecznie dla każdej liczby \(\displaystyle{ m}\), która nie przystaje do \(\displaystyle{ 2 (mod 4)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n \in \left< 2, m \right>}\), że wyrażenie \(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - m}}\) jest całkowite.-- 24 lut 2015, o 23:39 --

może tak:
\(\displaystyle{ \frac{A}{n ^{2} }= y}\)
\(\displaystyle{ \frac{y+n ^{2} }{2}=x}\)
\(\displaystyle{ x+ \sqrt{x ^{2}-A } =z ^{2}}\)

jeżeli A jest podzielne przez \(\displaystyle{ n^{2}}\) , to obliczysz \(\displaystyle{ x}\)

? Co oznaczasz tutaj przez \(\displaystyle{ n}\)

[Kera]

n kolejna liczba całkowita podniesiona do kwadratu.

[Michalinho]

n kolejna liczba całkowita podniesiona do kwadratu.

Co to znaczy kolejna liczba całkowita? Kolejna względem czego?
Nawet jeśli to wytłumaczysz to i tak np. dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ A}\) parzystego \(\displaystyle{ x}\) nie jest całkowite.

[Kera]

Ukryta treść:    

Mamy funkcję f(x)
która ma wzór
\(\displaystyle{ f(x)=x+ \sqrt{x^2 - A}}\)
Znajdź sposób by określić czy stnieje taka wartość x dla stałego A (gdzie\(\displaystyle{ x,a \subset C}\)
aby funkcja f(x) przyjmowała wartości CAŁKOWITE.

Przykład

\(\displaystyle{ f(3) = 3 + \sqrt{3^2 - 8} = 3 + \sqrt{9 - 8} = 3 + 1 = 4}\)

A więc nasza funkcja f(x) dla A=8 posiada takiego x, dokładnie x=3 że wartość f(x) jest całkowita.

nie jestem matematykiem, więc dla mnie kolejna liczba całkowita to \(\displaystyle{ 0;1;2}\) itd..

Zgadzam się że

Ukryta treść:    

np. dla n=1 i A parzystego x nie jest całkowite.

ponieważ brak jest rozwiązania.
podane moje wzory sprawdzają czy funkcja f(x) przyjmuje wartości CAŁKOWITE, a nawet zaostrzyłem aby wynik był kwadratem.
na przykład:
pierwsze rozwiązanie

\(\displaystyle{ \frac{72}{2 ^{2} } =18}\)
\(\displaystyle{ \frac{18+2^{2} }{2} =11}\)
\(\displaystyle{ 11+ \sqrt{11 ^{2}-72 } =18}\)

wynik jest liczbą całkowitą ale nie jest kwadratem,ponieważ\(\displaystyle{ \sqrt{18} =4,24...}\)

drugie rozwiązanie

\(\displaystyle{ \frac{72}{6 ^{2} } =2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2+6^{2} }{2} =19}\)
\(\displaystyle{ 19+ \sqrt{19 ^{2}-72 } =36}\)

wynik jest liczbą całkowitą i jest kwadratem,ponieważ\(\displaystyle{ \sqrt{36} =6}\)

[Michalinho]

Nie rozumiem. Wytłumacz mi po krok po kroku jak ten twój "sposób" ma działać, bo coś mi się zdaje, że jest on tak samo skuteczny jak sprawdzanie po kolei wszystkich \(\displaystyle{ n}\) od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ m}\). Ciekawe jak on zadziała jak \(\displaystyle{ m}\) będzie liczbą pierwszą?

nie jestem matematykiem, więc dla mnie kolejna liczba całkowita to 0;1;2 itd..

Też nie jestem matematykiem , ale jak dla mnie to kolejnE liczby całkowite nieujemne.

[Kera]

0bcy_astronom wprowadził mnie w błąd podając najpierw:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(x)=x+ \sqrt{x^2 - A}}\)

a następnie zmienił na:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - 4 \cdot A}}\)

więc naturalnie wzór jest zły.

[Michalinho]

Tak też mi coś nie pasowało Stąd radzę Obcemu_astronomowi skorzystać z tego rozwiązania, które wydaje mi się dobre

Rozpatrzmy przypadki modulo 4:
\(\displaystyle{ 1 ^ \circ m \equiv 0 (mod 4)}\):
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n=\frac{m}{4} +1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^ \circ m \equiv 1 (mod 4) \vee m \equiv 3 (mod 4)}\):
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n=\frac{m+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3 ^ \circ m \equiv 2 (mod 4)}\):
Kwadraty liczb całkowitych przystają tylko do \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) modulo \(\displaystyle{ 4}\).
Stąd \(\displaystyle{ n^2-m \equiv 3 (mod 4) \vee n^2-m \equiv 2 (mod 4)}\), a więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Ostatecznie dla każdej liczby \(\displaystyle{ m}\), która nie przystaje do \(\displaystyle{ 2 (mod 4)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n \in \left< 2, m \right>}\), że wyrażenie \(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - m}}\) jest całkowite.

[0bcy_astronom]

Okej bardzo dziękuję wszystkim za pomoc.

Na stracie niestety muszę powiedzieć iż przeceniłem swoje siły, gdyż myślałem, że jeżeli pomożecie mi rozwiązać ten prosty problem to sam poradzę sobie z bardziej skomplikowanym problemem który mam.

otóż przykład który pomogliście mi omówić wyglądał tak:

\(\displaystyle{ f(n)=n+ \sqrt{n^2 - 4 \cdot m}}\)

otóż problem z którym się borykamy wygląda następująco:

\(\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2}+ \sqrt{(\frac{n}{2})^2 - m}}\)

Myślałem że rozwiąze problem analogicznie do tego jak został on rozwiązany powyżej ale nie jestem w stanie tego zrobić

Pomoglibyście mi analogicznie również z tym przykładem?

[Michalinho]

Przepraszam, że odświeżam, ale podoba mi się to zadanie. Nowszy przykład \(\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2}+ \sqrt{(\frac{n}{2})^2 - m}}\) jest dużo trudniejszy.
Przy jego dowodzie musiałem wyprowadzić sobie trochę zależności. Przejdę zatem do rozwiązania.
Lemat 1. Niech \(\displaystyle{ m\ge 4}\) będzie liczbą złożoną. Wtedy istnieje dzielnik liczby \(\displaystyle{ m}\), taki że \(\displaystyle{ 2\le k\le \sqrt{m}}\)

Dowód L1:    

Załóżmy, że tak nie jest. Liczba jest złożona tzn. istnieją liczby \(\displaystyle{ a,b\notin \{1,m\}}\), że \(\displaystyle{ a\cdot b=m}\). Niech obie będą większe od \(\displaystyle{ \sqrt{m}}\). Wtedy \(\displaystyle{ m=a\cdot b< \sqrt{m}^2=m}\). Sprzeczność

Lemat 2
Niech \(\displaystyle{ n=\frac{m}{k}+k}\). Wtedy \(\displaystyle{ 4\le n\le m}\).

Dowód L2:    

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^2-mx+m}\). Rozwiązując nierówność \(\displaystyle{ f(x)\le 0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x\in \left\langle \frac{m-\sqrt{m^2-4m}}{2}; \frac{m+\sqrt{m^2-4m}}{2} \right\rangle}\). Łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{m-\sqrt{m^2-4m}}{2}\le 2 \le k \le \sqrt{m}\le \frac{m+\sqrt{m^2-4m}}{2}}\). A więc \(\displaystyle{ f(k)=k^2-mk+m\le 0 \Leftrightarrow n=\frac{m}{k}+k\le m}\). Ograniczenie dolne uzyskujemy z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \frac{m}{k}+k\ge 2\sqrt{m}\ge 4}\).

Zauważmy jeszcze, że \(\displaystyle{ \frac{m}{k}-k\ge 0}\), bo \(\displaystyle{ m=(\sqrt{m})^2\ge k^2}\)
Teraz możemy przejść do rozwiązania zadania. Na mocy powyższych lematów, wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ m\ge 4}\) jest liczbą złożoną, to istnieje \(\displaystyle{ 4\le n=\frac{m}{k}+k\le m}\), gdzie \(\displaystyle{ 2 \le k\le \sqrt{m}}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ m}\). Policzmy \(\displaystyle{ f(n)}\):
\(\displaystyle{ f\left(\frac{m}{k}+k\right)=\frac{\frac{m}{k}+k}{2}+\sqrt{\left(\frac{\frac{m}{k}+k}{2}\right)^2-m}=\frac{\frac{m}{k}+k}{2}+\sqrt{\left(\frac{\frac{m}{k}-k}{2}\right)^2}=\frac{\frac{m}{k}+k}{2}+\frac{\frac{m}{k}-k}{2}=\frac{m}{k}}\)
a więc jest liczbą całkowitą, bo \(\displaystyle{ k}\) jest przecież dzielnikiem \(\displaystyle{ m}\).

Niech teraz \(\displaystyle{ m}\) będzie liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ f(n)\in \mathbb{Z}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^2+m}=k \Leftrightarrow k^2-kn+m=0 \Rightarrow k|m \Rightarrow k=1 \vee k=m}\). Wyliczając stąd \(\displaystyle{ n}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ n=m+1\ge m}\). Więc nie ma takiej liczby \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ f(n)\in \mathbb{Z}}\).

Podsumowując:
Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą złożoną, to istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f(n)\in \mathbb{Z}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą pierwszą, to nie istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f(n)\in \mathbb{Z}}\).