Liczba rozwiązań równania

[a456]

Niech \(\displaystyle{ p >3}\) będzie liczbą pierwszą. Ile rozwiązań w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ (x,y)}\) ma równanie \(\displaystyle{ x^2-xy-2y^2=p^2}\)?
Trochę nie rozumiem zadania, w końcu każda para liczb w postaci \(\displaystyle{ (x,y)=(p,0)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y)=(-p,0)}\) spełnia to równanie. Jak pokazać, jednak że ono ma 6 rozwiązań?

[Zahion]

\(\displaystyle{ x^{2}-xy-2y^{2}=x^{2}-y^{2} -xy-y^{2}=(x-y)(x+y) -y(x+y)=(x+y)(x-2y)=p^{2}}\). Ile dzielników ma liczba z prawej strony ?

[a456]

właśnie ja byłem na tym miejscu i tutaj zakończyłem próbę rozwiązania, bo uważałem, że wystarczy \(\displaystyle{ x+y=x-2y}\) stąd ten mój wniosek \(\displaystyle{ y=0}\). ale chyba się myliłem i nie wiem co dalej.

[Zahion]

Dzielniki prawej strony to \(\displaystyle{ 1, p, p^{2}}\)
Czyli masz takie możliwości
1) \(\displaystyle{ x+y=1, x-2y=p^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ x-2y=1, x+y=p^{2}}\)
3)\(\displaystyle{ x+y=x-2y=p}\)

[a456]

A to jeszcze ujemne czyli \(\displaystyle{ -1, -p, -p^2}\). ok dzięki nie zauważyłem tego co jest tutaj oczywiste

[Kartezjusz]

Musisz pokazać jeszcze, że rozwiązania są całkowite, bo to zdania komentarza wymaga.

[Ponewor]

Jest jeszcze jeden powód by to zrobić - gdzieś to założenie \(\displaystyle{ p>3}\) trzeba wykorzystać.