Niech \(\displaystyle{ p >3}\) będzie liczbą pierwszą. Ile rozwiązań w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ (x,y)}\) ma równanie \(\displaystyle{ x^2-xy-2y^2=p^2}\)?
Trochę nie rozumiem zadania, w końcu każda para liczb w postaci \(\displaystyle{ (x,y)=(p,0)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y)=(-p,0)}\) spełnia to równanie. Jak pokazać, jednak że ono ma 6 rozwiązań?
Liczba rozwiązań równania
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Liczba rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x^{2}-xy-2y^{2}=x^{2}-y^{2} -xy-y^{2}=(x-y)(x+y) -y(x+y)=(x+y)(x-2y)=p^{2}}\). Ile dzielników ma liczba z prawej strony ?
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 7 razy
Liczba rozwiązań równania
właśnie ja byłem na tym miejscu i tutaj zakończyłem próbę rozwiązania, bo uważałem, że wystarczy \(\displaystyle{ x+y=x-2y}\) stąd ten mój wniosek \(\displaystyle{ y=0}\). ale chyba się myliłem i nie wiem co dalej.
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Liczba rozwiązań równania
Dzielniki prawej strony to \(\displaystyle{ 1, p, p^{2}}\)
Czyli masz takie możliwości
1) \(\displaystyle{ x+y=1, x-2y=p^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ x-2y=1, x+y=p^{2}}\)
3)\(\displaystyle{ x+y=x-2y=p}\)
Czyli masz takie możliwości
1) \(\displaystyle{ x+y=1, x-2y=p^{2}}\)
2)\(\displaystyle{ x-2y=1, x+y=p^{2}}\)
3)\(\displaystyle{ x+y=x-2y=p}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Liczba rozwiązań równania
Musisz pokazać jeszcze, że rozwiązania są całkowite, bo to zdania komentarza wymaga.