Liczby pierwsze

[a456]

Znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), że liczby \(\displaystyle{ p^2 +2}\) i \(\displaystyle{ p^3+2}\) są jednocześnie liczbami pierwszymi.

Robiłem w taki sposób, ale raczej jest nie do końca poprawny, więc jak można to zrobić inaczej?

Ukryta treść:    

Próbowałem wykorzystać to, że łatwo zgadnąć, że \(\displaystyle{ p=3}\) spełnia warunki zadania. Oznaczmy \(\displaystyle{ a=p^2+2}\) i \(\displaystyle{ b=p^3+2}\) oraz niech \(\displaystyle{ W(p)=p^3+p^2+4-(a+b)}\). Skoro wiadomo, że \(\displaystyle{ W(3)=0}\) to \(\displaystyle{ W(p)=(p-3)(p^2+4p+12)}\) i koniec, bo w drugim nawiasie \(\displaystyle{ \Delta<0}\)

[a4karo]

A czego niby ma ten fakt dowodzić?
Mieszacz pojęcia: raz \(\displaystyle{ p}\) jest ustaloną liczbą pierwszą, a raz argumentem wielomianu, którego parametry też zależą od \(\displaystyle{ p}\). Ponadto dla takich \(\displaystyle{ a,b}\) jakie przyjąłęś \(\displaystyle{ W(p)=0}\)

[kerajs]

Wskazówka:
Sprawdź liczby postaci:
\(\displaystyle{ p=6n+1}\) oraz \(\displaystyle{ p=6n+5}\)

[a4karo]

Oryginalny post został zmieniony (czego się nie robi), ale nadal nie wiadomo, czym w tym "rozwiazaniu" jest \(\displaystyle{ p}\) i dlaczego z faktu,że \(\displaystyle{ W(p)=0}\) ma wynikać teza.

[a456]

Jeszcze raz - łatwo zobaczyć, że \(\displaystyle{ p=3}\) spełnia warunki zadania. Niech \(\displaystyle{ a=p^2+2}\) oraz \(\displaystyle{ b=p^3+2}\), czyli trzeba wyznaczyć te trójki liczb pierwszych \(\displaystyle{ a,b,p}\) które będą spełniały ten układ równań. Dodając do siebie oba równania otrzymamy \(\displaystyle{ p^3+p^2+4-(a+b)=0}\), jak się udało zgadnąć (szczególnie dlatego to rozwiązanie mi się nie podoba) dla \(\displaystyle{ p=3}\) to równanie będzie miało postać \(\displaystyle{ a+b=40}\) - teraz opuszczając podstawienia dostaniemy równanie \(\displaystyle{ p^3+p^2-36=0}\) czyli \(\displaystyle{ (p-3)(p^2+4p+12)=0}\), ale w drugim nawiasie Delta<0 więc to równanie nie będzie miało innych rozwiązań.
A dla \(\displaystyle{ p=3}\) jest \(\displaystyle{ p^2+2=11}\) i \(\displaystyle{ p^3+2=29}\)

Troszkę nie rozumiem pytania, czym w tym rozwiązaniu jest \(\displaystyle{ p}\), bo przecież już w poleceniu jest, że to jest liczba pierwsza.
I niestety nie za bardzo rozumiem Twojej wskazówki kerajs
Ale ok ja to pytanie zadałem właśnie dlatego, że nie wiem jak inaczej i formalnie to zrobic.

[a4karo]

Przecież jeżeli\(\displaystyle{ a=p^2+2}\)oraz \(\displaystyle{ b=p^3+2}\) to \(\displaystyle{ p^3+p^2+4-(a+b)=0}\) niezależnie od tego jakie \(\displaystyle{ p}\) weźmiesz.

\(\displaystyle{ a+b=40}\) - teraz opuszczając podstawienia dostaniemy równanie \(\displaystyle{ p^3+p^2-36=0}\)

a teraz robisz cos potwornie dziwnego, bo to \(\displaystyle{ p}\) staje się nagle zmienną, zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie wiadomo dlaczego zamieniają się w konkretne liczby. Jaki jest związek między np. \(\displaystyle{ p=7}\) a tym rozumowaniem?


A wskazówka kerajs jest jak najbardziej na miejscu: każda liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) różna od 2 i 3 jest postaci \(\displaystyle{ 6k+1}\) lub \(\displaystyle{ 6k+5}\). Ta wskazówka mia la Cię naprowadzić na własciwą drogę. Policz ile wynosi \(\displaystyle{ p^2+2}\) i \(\displaystyle{ p^3+2}\) w obu tych przypadkach - coś zauważysz.

[Zahion]

Zadanie dość dziwne, ze względu na to, że jeśli liczba \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza, to liczba \(\displaystyle{ p^{2} + 2}\) ma tą własność tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ p = 3}\). Co za tym idzie drugi warunek jest zbędny. Otóż \(\displaystyle{ p^{2} + 2 = \left( p-1\right)\left( p+1\right) + 3}\), skoro \(\displaystyle{ p}\) to liczba pierwsza to dla \(\displaystyle{ p > 3}\) co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ p-1, p+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), więc też \(\displaystyle{ 3 | p^{2} + 2}\), co jest sprzeczne z założeniem, że musi być pierwsza. Mamy więc jedyną możliwość \(\displaystyle{ p = 3}\)

[a456]

A też myślałem dokładnie o \(\displaystyle{ p^{2} + 2 = \left( p-1\right)\left( p+1\right) + 3}\), ale dochodził drugi warunek i sobie odpuściłem ten sposob i próbowałem wykorzystywać oba naraz.