Układ dwóch równań z trzema niewiadomymi

a456 · Post autor: **a456** » 10 lut 2015, o 15:08

Rozstrzygnij czy układ równań ma rozwiązania, gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pewną liczbą rzeczywistą oraz \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi.

\(\displaystyle{ 2x^a = 3 \\
2x^b = 5}\)

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 10 lut 2015, o 15:13

Załóżmy, że ma. Wtedy \(\displaystyle{ 2^a3^b = 2^a2^bx^{ab} = 5^a2^b}\). Korzystamy z czegoś, chociażby waluacji \(\displaystyle{ p}\)-adycznej, żeby stwierdzić, że \(\displaystyle{ a = 0}\), ale wtedy \(\displaystyle{ 2x^0 = 3}\), czyli \(\displaystyle{ 1 = 3/2}\), sprzeczność.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 lut 2015, o 15:31

Ja bym powiedział, że korzystamy z jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze.

JK