Czy liczba dzieli się przez 7?

[Arytmetyk]

Wykorzystując kongruencje sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ 111^{333}+333^{111}}\) dzieli się przez 7.

Z góry dziękuje za pomoc.

[Zahion]

Na początku \(\displaystyle{ 111 = 7 \cdot 16 - 1}\), stąd \(\displaystyle{ 111^{333} \equiv (7\cdot 16 -1)^{333} \equiv (-1)^{333} \equiv -1 \pmod{7}}\)
Dalej wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 333^{111} \equiv 4^{333} \equiv 4^{55\cdot6 + 3} \equiv (4^{6})^{55} \cdot 4^{3} \equiv 4^{3} \equiv 1 \pmod{7}}\)