Kilka dowodów

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mck00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 11 sty 2015, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Kilka dowodów

Post autor: mck00 »

Wprost:
Jedyną liczbą pierwszą \(\displaystyle{ p}\) taką, że \(\displaystyle{ 2p-3}\) jest kwadratem liczby naturalnej, jest \(\displaystyle{ p= 2}\)
Jedyną liczbą pierwszą \(\displaystyle{ p}\) taką, że \(\displaystyle{ p+1}\) jest sześcianem liczby naturalnej, jest \(\displaystyle{ p= 7}\)
Nie wprost:
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest niewymierna.
Jak robić tego typu zadania?
Ostatnio zmieniony 24 sty 2015, o 01:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Kilka dowodów

Post autor: Premislav »

Pierwsze: chodziło o \(\displaystyle{ 2p^{3}}\)? Jeśli tak, to rozważ równanie \(\displaystyle{ 2p^{3}=t^{2}}\)
Podpowiedź: \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{3} \Rightarrow 8}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{3}}\), gdy \(\displaystyle{ p}\) jest naturalne. No i wykorzystaj to, że p ma być liczbą pierwszą.
Drugie: skoro \(\displaystyle{ p+1=t^{3}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \NN}\), to \(\displaystyle{ p=t^{3}-1}\), a dalej wzór na różnicę sześcianów.
Zadanko z dowodem nie wprost:
załóż, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}= \frac{p}{q}}\) dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ p,q}\), no i oczywiście \(\displaystyle{ q \neq 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ 2= \frac{p^{3}}{q^{3}}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q^{3}=p^{3}}\). Rozważ największą potęgę dwójki, która dzieli obie strony (chodzi o wykładnik: czy nie będzie on się czymś różnił dla lewej i prawej strony?).
malpxiii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 16 lis 2014, o 18:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Pomógł: 1 raz

Kilka dowodów

Post autor: malpxiii »

Ja bym to zrobił w trochę inny sposób, może być nie poprawny tak, więc musisz sam go ocenić:
a) w takich sytuacjach lubię przekształcać równania:
Założenia: \(\displaystyle{ p}\) liczba pierwsza, \(\displaystyle{ a}\) liczba naturalna
\(\displaystyle{ 2p-3=a ^{2} \Rightarrow 2p-4=a ^{2}-1 \Rightarrow 2\left( p-2\right)=\left( a-1\right)\left(a+1 \right)}\)
popatrzmy na wyrażenie po prawej stronie, jest to iloczyn jednej liczby i liczby o \(\displaystyle{ 2}\) większej od niej, a po lewej iloczyn \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ p-2}\), więc wyrażenie \(\displaystyle{ p-2}\) musi być o \(\displaystyle{ 2}\) większe lub \(\displaystyle{ 2}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ p-2=4 \vee p-2=0 \Rightarrow p=6 \vee p=2}\) zostaje \(\displaystyle{ p=2}\), ponieważ \(\displaystyle{ 6}\) jest liczbą złożoną, co kończy dowód.

b) wykorzystaj wzory skróconego mnożenia dla sześcianów, analogicznie do a), pamiętaj cyferki też żyją.

c) NAJWAŻNIEJSZE ZAŁOŻENIA: \(\displaystyle{ x,y \in C \wedge y \neq 0}\). Z definicji liczby wymiernej wynika, że da się ją zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych gdzie mianownik jest różny od zera. Tak, więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}= \frac{x}{y} \Rightarrow 2= \frac{x ^{3} }{y ^{3}} \Rightarrow 2y ^{3}=x ^{3}}\). Tą formułkę, która pojawiła się w mojej książce wkułem na pamięć i brzmi: "Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą całkowitą, czyli istnieje ułamek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) (spełniający założenia). Zauważmy, że ostatnia równość nie może zachodzić, bla bla bla, gdyż oznaczałaby ona, że przy rozkładzie na czynniki pierwsze liczba \(\displaystyle{ 2}\) występuje parzystą ilość razy po lewej stronie i nieparzystą ilość razy po prawej stronie. Otrzymaliśmy sprzeczność, bla bla bla, a więc przypuszczenie że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) wyrazić jako ułamek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) było fałszywe(z prawdy nie może wynikać fałsz)."

-- 24 sty 2015, o 10:50 --

Strasznie długa ta formułka i nudna, ale niestety trzeba ją znać.-- 24 sty 2015, o 10:53 --Zapomniałem jeszcze dopisać, że \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą przy podpunkcie a).
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Kilka dowodów

Post autor: Ponewor »

malpxiii pisze:\(\displaystyle{ 2\left( p-2\right)=\left( a-1\right)\left(a+1 \right)}\)
popatrzmy na wyrażenie po prawej stronie, jest to iloczyn jednej liczby i liczby o \(\displaystyle{ 2}\) większej od niej, a po lewej iloczyn \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ p-2}\), więc wyrażenie \(\displaystyle{ p-2}\) musi być o \(\displaystyle{ 2}\) większe lub \(\displaystyle{ 2}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\)
Niestety, to bzdura. \(\displaystyle{ 2\cdot 24 = 6 \cdot 8}\), stąd nie można wywnioskować, że \(\displaystyle{ 24}\) jest o dwa większe bądź mniejsze od dwóch.
Poprawny dowód rzeczywiście wykorzystuje, to że \(\displaystyle{ a-1}\) i \(\displaystyle{ a+1}\) różnią się o dwa. Jednak najpierw trzeba zauważyć, że lewa strona jest parzysta, a stąd i prawa i w konsekwencji choć jeden z czynników prawe strony jest parzysty.
c) NAJWAŻNIEJSZE ZAŁOŻENIA: \(\displaystyle{ x,y \in C \wedge y \neq 0}\). Z definicji liczby wymiernej wynika, że da się ją zapisać w postaci ilorazu liczb całkowitych gdzie mianownik jest różny od zera. Tak, więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}= \frac{x}{y} \Rightarrow 2= \frac{x ^{3} }{y ^{3}} \Rightarrow 2y ^{3}=x ^{3}}\). Tą formułkę, która pojawiła się w mojej książce wkułem na pamięć i brzmi: "Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą całkowitą, czyli istnieje ułamek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) (spełniający założenia). Zauważmy, że ostatnia równość nie może zachodzić, bla bla bla, gdyż oznaczałaby ona, że przy rozkładzie na czynniki pierwsze liczba \(\displaystyle{ 2}\) występuje parzystą ilość razy po lewej stronie i nieparzystą ilość razy po prawej stronie. Otrzymaliśmy sprzeczność, bla bla bla, a więc przypuszczenie że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) wyrazić jako ułamek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) było fałszywe(z prawdy nie może wynikać fałsz)."
Zanim cokolwiek napiszesz, dobrze się zastanów co robisz. Jak niby chcesz wnioskować, że po lewej stronie dwójka pojawia się parzystą ilość razy? Być może coś Ci się pomieszało z dowodem dla \(\displaystyle{ \sqrt[2]{2}}\), ale tak to już jest jak ktoś się uczy regułek na pamięć.
a456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 7 razy

Kilka dowodów

Post autor: a456 »

1.
\(\displaystyle{ p=2}\) sprawdzę oddzielnie, bo to jedyna parzysta liczba pierwsza.
\(\displaystyle{ 2p-3=a^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in N}\)
Gdyby \(\displaystyle{ p=2}\) to \(\displaystyle{ 4-3=1}\), czyli \(\displaystyle{ p=2}\) spełnia warunki zadania, bo oczywiście liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ p>2}\). Teraz na pewno \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą nieparzystą. Wartość wyrażenia po lewej stronie jest nieparzysta, więc niech \(\displaystyle{ a^2 = (2k+1)^2}\) skąd:
\(\displaystyle{ 2p-3 = 4k^2+4k+1}\)
\(\displaystyle{ p = 2(k^2+k+1)}\), co jest sprzeczne z tym, że \(\displaystyle{ p}\) ma być nieparzyste. Stąd tylko \(\displaystyle{ p=2}\) spełnia warunki zadania.

2.
Tutaj przypadek \(\displaystyle{ p=2}\) odpada, bo \(\displaystyle{ 3}\) nie będzie sześcianem liczby naturalnej. Więc \(\displaystyle{ p>2}\).
\(\displaystyle{ p+1=a^3}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in N}\)
\(\displaystyle{ p=(a-1)(a^2+a+1)}\)
Liczbę pierwszą można zapisać w postaci iloczynu liczb całkowitych tylko na 2 sposoby:
\(\displaystyle{ -1 \cdot (-p)}\) lub \(\displaystyle{ 1 \cdot p}\)
Tutaj \(\displaystyle{ a^2+a+1 \ge 1}\) w liczbach naturalnych, więc trzeba rozpatrzeć tą drugą opcję.
\(\displaystyle{ a-1=1}\) skąd \(\displaystyle{ a=2}\) i wtedy \(\displaystyle{ p=7}\)
Gdyby \(\displaystyle{ a^2+a+1=1}\) to \(\displaystyle{ a=0}\), ale wtedy \(\displaystyle{ p=-1}\) więc odpada.

3. Co do tego, może wolałbyś taki sposób?
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-2}\). Jednak z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu wynika, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-2}\) ma pierwiastki wymierne to należą do one do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ -2, -1, 1,2 \right\}}\)Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) i nie należy do tego zbioru stąd nie jest liczbą wymierną.
ODPOWIEDZ