liczby całkowite x i y spełniające równanie

[kopycinskiadrian]

1. Znajdź wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniające równanie :
\(\displaystyle{ xy- y^{2} =x}\)

[Dario1]

Jak na moje oko to tylko \(\displaystyle{ x=4}\) i \(\displaystyle{ y=2}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) spełniają te równanie. Można to skromnie uzasadnić.

[Elayne]

// pomyliłem się

[Zahion]

Wystarczy przekształcić do postaci
\(\displaystyle{ x = \frac{y^{2}}{y-1}}\), dla \(\displaystyle{ y \neq 1}\).

[kopycinskiadrian]

No właśnie mam to w tej ostatniej postaci i jak to prawidłowo uzasadnić i wyznaczyć ?

[Zahion]

Wydaje mi się , że najłatwiej tak :
\(\displaystyle{ \frac{y^{2}}{y-1}= \frac{(y-1)^{2}+2y-1}{y-1}= y-1 + \frac{2y-1}{y-1}= y-1 + \frac{2(y-1)+1}{y-1}=(y-1)+2+ \frac{1}{y-1}=y+1+ \frac{1}{y-1}}\). Teraz pytanie kiedy liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{y-1}}\) jest całkowita ?

[malpxiii]

Przekształćmy nieco to równanie:
\(\displaystyle{ xy-y ^{2}=x}\)
\(\displaystyle{ -x+xy-y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x-xy+y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x\left( 1-y\right)+y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ -x\left( y-1\right)+y ^{2}-1=-1}\)
\(\displaystyle{ -x\left( y-1\right)+\left(y-1 \right)\left( y+1\right)=-1}\)
\(\displaystyle{ \left( y-1\right)\left( y-x+1\right)=-1}\)

Dalej musisz uzasadnić słownie