Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań z teorii liczb:
Zadanie 1:
\(\displaystyle{ x^3 - y^3= 15}\), gdzie x, y sa całkowite
Zadanie 2:
\(\displaystyle{ x^2 + 7x +11 \equiv 0\ (mod\ 5)}\)
Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie
Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie
Ostatnio zmieniony 7 cze 2007, o 21:21 przez agatii, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie
Ad 1
\(\displaystyle{ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=15\\
15=1\cdot 15=3\cdot 5=5\cdot 3=15\cdot 1=(-15)\cdot (-1)=(-5)\cdot (-3)=(-3)\cdot (-5)=(-1)\cdot (-15)}\)
Rozpatrujesz 8 przypadków. Np.:
\(\displaystyle{ x-y=1\rightarrow\ x=1+y\\
x^2+xy+y^2=15\\
\\
(1+y)^2+y(1+y)+y^2=15\\
1+2y+y^2+y+y^2+y^2=15\\
3y^2+3y-14=0\\
\Delta=9+168=177\\
y\notin\mathbb{C}}\)
Ad 2
Dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x^2+7x+11=1+7+11=19\equiv 4\ (mod\ 5)}\)
\(\displaystyle{ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=15\\
15=1\cdot 15=3\cdot 5=5\cdot 3=15\cdot 1=(-15)\cdot (-1)=(-5)\cdot (-3)=(-3)\cdot (-5)=(-1)\cdot (-15)}\)
Rozpatrujesz 8 przypadków. Np.:
\(\displaystyle{ x-y=1\rightarrow\ x=1+y\\
x^2+xy+y^2=15\\
\\
(1+y)^2+y(1+y)+y^2=15\\
1+2y+y^2+y+y^2+y^2=15\\
3y^2+3y-14=0\\
\Delta=9+168=177\\
y\notin\mathbb{C}}\)
Ad 2
Dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x^2+7x+11=1+7+11=19\equiv 4\ (mod\ 5)}\)
Ostatnio zmieniony 7 cze 2007, o 21:36 przez *Kasia, łącznie zmieniany 2 razy.
- przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie
a co do przykladu 1 wystarczy sprawdzic 4 przypadki, bo
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2 q 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x,y R}\), bo
\(\displaystyle{ 2x^2+2xy+2y^2 q 0 \iff
x^2+y^2 + (x^2+y^2+2xy) = x^2 + y^2 + (x+y)^2 q 0}\)
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2 q 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x,y R}\), bo
\(\displaystyle{ 2x^2+2xy+2y^2 q 0 \iff
x^2+y^2 + (x^2+y^2+2xy) = x^2 + y^2 + (x+y)^2 q 0}\)
Ostatnio zmieniony 8 cze 2007, o 10:52 przez przemk20, łącznie zmieniany 1 raz.