Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
agatii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 7 cze 2007, o 21:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rumia

Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Post autor: agatii »

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań z teorii liczb:

Zadanie 1:

\(\displaystyle{ x^3 - y^3= 15}\), gdzie x, y sa całkowite


Zadanie 2:

\(\displaystyle{ x^2 + 7x +11 \equiv 0\ (mod\ 5)}\)
Ostatnio zmieniony 7 cze 2007, o 21:21 przez agatii, łącznie zmieniany 1 raz.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Post autor: *Kasia »

Ad 1
\(\displaystyle{ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=15\\
15=1\cdot 15=3\cdot 5=5\cdot 3=15\cdot 1=(-15)\cdot (-1)=(-5)\cdot (-3)=(-3)\cdot (-5)=(-1)\cdot (-15)}\)

Rozpatrujesz 8 przypadków. Np.:
\(\displaystyle{ x-y=1\rightarrow\ x=1+y\\
x^2+xy+y^2=15\\
\\
(1+y)^2+y(1+y)+y^2=15\\
1+2y+y^2+y+y^2+y^2=15\\
3y^2+3y-14=0\\
\Delta=9+168=177\\
y\notin\mathbb{C}}\)


Ad 2
Dla \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x^2+7x+11=1+7+11=19\equiv 4\ (mod\ 5)}\)
Ostatnio zmieniony 7 cze 2007, o 21:36 przez *Kasia, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Post autor: Lorek »

2. wsk. \(\displaystyle{ x^2+7x+11=(x+1)^2+5x+10}\)
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Post autor: przemk20 »

a co do przykladu 1 wystarczy sprawdzic 4 przypadki, bo
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2 q 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x,y R}\), bo
\(\displaystyle{ 2x^2+2xy+2y^2 q 0 \iff
x^2+y^2 + (x^2+y^2+2xy) = x^2 + y^2 + (x+y)^2 q 0}\)

Ostatnio zmieniony 8 cze 2007, o 10:52 przez przemk20, łącznie zmieniany 1 raz.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Zadanie na kongruencję oraz trudne rownianie

Post autor: *Kasia »

przemk20, tak właśnie coś mi się wydawało, ale nie byłam pewna. Dzięki.
ODPOWIEDZ