Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Witam, jestem informatykiem i w swojej pracy przypadkowo odkryłem coś co może rzucić nowe światło na temat liczb pierwszych, ale nie do końca wiem jak bardzo może to być przydatne. Postanowiłem napisać post na tym forum i liczę, że udzielicie mi niezbędnych wskazówek.

Mówiąc do rzeczy na potrzeby swojego programu stworzyłem wzór generujący ciąg liczb i nie było by w nim nic dziwnego gdyby nie miał jednej ciekawej właściwości, a mianowicie w wyrazie o indeksie \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) zawsze znajduje się liczba pierwsza mało tego liczby pierwsze znajdują się wyłącznie na takich indeksach ciągu od \(\displaystyle{ 2^{0}+1}\) do \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) co udało mi się chyba matematycznie udowodnić.

Wygląda to mniej więcej tak:

dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{0}+1] = 2}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{1}+1] = 3}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{2}+1] = 5}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{3}+1] = 7}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{4}+1] = 11}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{5}+1] = 13}\)
...

32 kolejne wyrazy ciągu:
\(\displaystyle{ 1,2,3,6,5,4,9,8,7,10,24,16,15,18,28,12,11,14,21,25,20,30,36,32,27,40,36,48,45,54,81,72,13...}\)

Moje pytania są następujące:
1. Czy ktoś już czasem nie odkrył takiego ciągu?
2. Czy jest to coś warte zakładając, że jeśli chcemy policzyć 100-tną liczbę pierwszą to musimy pierw wygenerować \(\displaystyle{ 2^{100}+1}\) elementów ciągu?
3. Jeśli jest to coś warte i uda mi się udowodnić 100% poprawność to co dalej z tym robić?

Pozdrawiam i dziękuję za odpowiedzi,
Cootje
Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: jarzabek89 »

Póki nie dowiemy się w jaki sposób generujesz owe ciąg, to nikt Ci nie udzielni sensownej odpowiedzi.
Na pierwszy rzut oka skojarzyłem to z liczbami Mersenne'a. Jest tu jakaś pewna analogia.
Z analizy Twoich liczb można wnioskować,że dla n=5 jak widać to działa. Jednak na podstawie tych danych nic więcej powiedzieć nie mogę.
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Ok, szczerze mówiąc to spodziewałem się takiej odpowiedzi dlatego postaram się poprawić w tym poście.

Witam, chciałbym zadać pytanie. Mianowicie co by było gdyby ktoś odkrył ciąg, który dla wyrazów o indeksie od \(\displaystyle{ 2^{0}+1}\) do \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) spełniałby taką właściwość, że każdy \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) byłby liczbą pierwszą i liczby pierwsze występowałyby tylko i wyłącznie na wyrazach o takim indeksie.

Wyglądało by to mniej więcej tak:

dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{0}+1] = 2}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{1}+1] = 3}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{2}+1] = 5}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{3}+1] = 7}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{4}+1] = 11}\)
dla wyrazu o indeksie [\(\displaystyle{ 2^{5}+1] = 13}\)
...

Moje pytania są następujące:
1. Czy istnieje taki ciąg?
2. Czy byłoby to coś warte zakładając, że jeśli chcemy policzyć 100-tną liczbę pierwszą to trzeba by było pierw wygenerować \(\displaystyle{ 2^{100}+1}\) elementów ciągu?
3. Co w takich sytuacjach należałoby zrobić aby bezpiecznie opublikować pracę?

Po uzyskaniu odpowiedzi na te pytania będę się martwił gnębieniem matematyków o pomoc w udowodnieniu/obaleniu teorii ciągu.

Pozdrawiam i dziękuję za odpowiedzi,
Cootje
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Elayne »

To co napisze poniżej jest moją opinią. Kwadrat liczby naturalnej tradycyjnie jest przedstawiany w postaci graficznej jako kwadrat np. pięć rzędów po pięć kulek. W postaci graficznej kwadrat liczby naturalnej można też przedstawić jako trójkąt równoboczny - takie podejście ma tę zaletę że można w przejrzysty sposób przedstawić zależności i związki jakie zachodzą pomiędzy danymi liczbami podczas mnożeniu dwóch liczb naturalnych nieparzystych. Liczbę pierwszą można przedstawić jako zlepek dwóch liczb złożonych które nie mają wspólnych czynników. Można pokazać zależność między liczbami pierwszymi a hipotezą Goldbacha mówiącą że każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Na przykład liczbę osiem można przedstawić jako trzy plus pięć i jednocześnie pokazać że gdyby takiej pary liczb nie było to niemożliwe byłoby np. graficzne przedstawienie podzielenia liczby piętnaście przez trzy lub pięć więc to by oznaczało że liczba piętnaście jest liczbą pierwszą a przecież tak nie jest. Kolejne liczby pierwsze można wygenerować między innymi w ten sposób że dla każdej liczby naturalnej są generowane dwa zbiory liczbowe poprzez skalowanie potęg (przez dwa oraz pięć) a następnie sprawdzeniu czy zawierają elementy wspólne. To pozwala na wyciągnięciu wniosku że najprawdopodobniej nie istnieje taki ogólny wzór który w prosty sposób umożliwiałby wygenerowanie samych liczb pierwszych.
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Na szczęście w moim temacie nie twierdzę, że odkryłem wzór na liczby pierwsze, ale ciekawy ciąg z nimi jakoś powiązany.

Jednak zbaczając z tematu to może Cię zainteresować:

\(\displaystyle{ f(n)= \sum_{k=2}^{ 2^{n} }\left( k*\left[ \frac{1}{1+\left| k-2+ \sum_{i=1}^{k-1}\left[ -\left\{ \frac{k}{i} \right\} \right] \right| } \right] *\left[ \frac{1}{1+\left| n- \sum_{j=2}^{k}\left[ \frac{1}{1+\left| j-2+ \sum_{i=1}^{j-1}\left[ -\left\{ \frac{j}{i} \right\} \right] \right| } \right] \right| } \right] \right)}\)
Ostatnio zmieniony 15 sty 2015, o 13:43 przez Cootje, łącznie zmieniany 1 raz.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: norwimaj »

Cootje pisze: Witam, chciałbym zadać pytanie. Mianowicie co by było gdyby ktoś odkrył ciąg, który dla wyrazów o indeksie od \(\displaystyle{ 2^{0}+1}\) do \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) spełniałby taką właściwość, że każdy \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) byłby liczbą pierwszą i liczby pierwsze występowałyby tylko i wyłącznie na wyrazach o takim indeksie.
Takie ciągi istnieją, ale co w tym ciekawego?
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Starałem się znaleźć coś w necie i nie znalazłem podobnych za wyjątkiem takich, które tylko częściowo i nie zawsze spełniają ten warunek (przykładowo wcześniej wspomniane liczby pierwsze Mersenne'a) dlatego tu zadałem pytanie. Mogę prosić o jakiś przykład podobnych ciągów spełniający dany warunek?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: norwimaj »

\(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,8,9,7,10,12,14,15,16,18,20,11,21,22,24,\\
25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,13,40,42,44,45,46,48,49,\\
50,51,52,54,55,56,57,58,60,62,63,64,65,66,68,69,70,72,74,75,\\
76,77,78,80,17,81,82,84,85,86,87,88,90,91,92,93,94,95,96,98,\\
99,100,102,104,105,106,108,110,111,112,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,\\
124,125,126,128,129,130,132,133,134,135,136,138,140,141,142,143,144,145,146,147,\\
148,150,152,153,154,155,156,158,19,159,160,161,162,164,165,166,168,169,170,171,\\
172,174,175,176,177,178,180,182,183,184,185,186,187,188,189,190,192,194,195,196,\\
198,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,212,213,214,215,216,217,218,219,\\
220,221,222,224,225,226,228,230,231,232,234,235,236,237,238,240,242,243,244,245,\ldots}\)


Przykłady takich ciągów nie są trudne do wymyślenia. Dlatego spytałem, co w tym jest ciekawego. Może ten Twój ciąg ma ładny wzór albo jest szybko obliczalny? Wtedy dopiero uznam, że jest on godny uwagi.
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

U Ciebie to kolejne liczby naturalne ze wstawionymi pierwszymi w miejsca \(\displaystyle{ 2^{n} +1}\) Jeśli nie masz na to sensownego wzoru na \(\displaystyle{ a_{n}}\) to faktycznie nudny ciąg.


Mój ciąg ma wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\) - Udało mi się go niedawno wyprowadzić ze wzoru na generacje ciągu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: a4karo »

Ból polega na tym, że norwimaj podał jak zbudować mnóstwo ciągów spełniających zadany warunek. (banalne).
ty zaś twierdzisz, że
1. masz jakiś wzór (ale nie chcesz go pokazać)
2. twój wzór tworzy ciąg, który spełnia zadany warunek - to stwierdzenie będzie pustym zdaniem, dopóki nie pokażesz dowodu, że tak jest.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: yorgin »

Cootje, jeżeli jesteś w stanie napisać więcej szczegółów na moje PW, chętnie poczytam. Interesuje mnie przede wszystkim opis ciągu \(\displaystyle{ 1,2,3,6,5,4,9,8,7,10,24,16,15,18,28,12,11,14,21,25,20,30,36,32,27,40,36,48,45,54,81,72,13...}\)
tj zależność pozwalająca otrzymać kolejną liczbę. Napisałeś również o wzorze na \(\displaystyle{ a_n}\) - nie wiem, czy chodzi o wzór ogólny, ale i ten chciałbym zobaczyć.

Obecnie na forum nie napisałeś niczego przekonującego. Jest chwalenie się odkryciem, ale na powyższej zasadzie ja mogę zrobić swoje:

\(\displaystyle{ 1,2,4,3,6,5,8,7,10,11,12,13,14,17,16,19,18,23,20,29,\ldots}\)

i powiedzieć, że wyrazy postaci \(\displaystyle{ 2n}\) są pierwsze. Mogę się nawet postarać o wzór ogólny na ten ciąg z wykorzystaniem tasiemca na \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą. Nie nazwę tego odkryciem, norwimaj, też nie nazwie swojego ciągu odkryciem, choć również można go opisać wzorem jawnym.

Czasem warto napisać coś więcej. Skoro chcesz się podzielić odkryciem, zrób to. Wypisanie założeń i tezy jest wystarczające o ile nie odwołuje się do niezdefiniowanych pojęć czy wielkości. Ty natomiast wypisałeś tezę bez żadnego wprowadzenia.
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Wybaczcie mi, ale chciałem sprawdzić czy to ma jakieś znaczenie kiedy nie miałem jeszcze wzoru na konkretny \(\displaystyle{ a_{n}}\). Chciałem znać waszą opinię, zanim pójdę z tym gdzieś dalej. Nigdy nie interesowałem się aż tak matematyką i nie zależy mi na waszym podziwie, ale teraz po rozmowie z dwoma znajomymi matematykami wiem, że może to być coś ciekawego. Umówiłem się też na spotkanie z moim byłym wykładowcą matematyki z uczelni. Jeśli on nie znajdzie błędu i pomoże mi/znajdzie błąd to opublikuję tutaj publicznie wszystkie wzory.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: a4karo »

Z pewnością nikt nie będzie Cie podziwiał za marnowanie czasu, na które skazałeś paru użytkowników tego forum
Cootje
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 15 sty 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: Cootje »

Ciąg ma jeszcze inne ciekawe właściwości np każda poprzednia pierwsza razy dwa występuje za liczbą pierwszą czyli: \(\displaystyle{ 2+2^{n} = 1+2^{n-1} \cdot 2}\)

Wykres w skali logarytmicznej dla pierwszych \(\displaystyle{ 65536}\) wyrazów wygląda tak:




\(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,9,8,7,10,12,16,15,18,27,24,11,14,21,20,25,30,36,32,28,40,48,64,45,54,81,72,13...}\)
Ostatnio zmieniony 24 sty 2015, o 21:49 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

Post autor: a4karo »

Przestań zaśmiecać to forum. Dopóki nie napiszesz jak wygląda ten tajemniczy ciąg, to wszystko, co tu piszesz można rozpatrywać jedynie w kategoriach bzdury
ODPOWIEDZ