rozwiniecia dziesietne poteg

lookasiu87 · Post autor: **lookasiu87** » 1 lut 2005, o 22:19

Cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb 2^1997 oraz 5^1997 wypisa jedna za drugą. Oblicz, ile napisano cyfr. Będę wdzięczny za każdą pomoc.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 1 lut 2005, o 22:41

Może dałoby się to empirycznie...
Zauważyć musimy periodyczność przy początkowych potęgach, a potem to uogólnić.
\(\displaystyle{ 2^{0}=1 \ 2^{1}=2 \ 2^{2}=4 \ 2^{3}=8 \\ 2^{4}=16 \ 2^{5}=32 \ 2^{6}=64 \\ 2^{7}=128 \ 2^{8}=256 \ 2^{9}=512 \\ 2^{10}=1024 \ 2^{11}=2048 \ 2^{12}=4096 \ 2^{13}=8192 \\ 2^{14}=16382 \ 2^{15}=32764 \ 2^{16}=65528}\)

Długo tak można, ale widać już pewną okresowość:
dla pierwszych czterech potęg mamy jedną cyfrę, potem dla dalszych trzech mamy już liczby dwucyfrowe, a dla następnych trzech mamy liczby trzycyfrowe. I teraz znowuż dla czterech mamy kolejną cyfrę, a potem znowuż trzech... Sądzę więc, że taki będzie okres tego zjawiska. Podsumowując: co dziesięć kolejnych wartości wykładników dochodzą trzy cyfry do zapisu tej liczby.

Weźmy się więc za ten problem. Mamy \(\displaystyle{ 2^{1997}}\). Najbliższą wielokrotnością (oczywiście szukamy "w dół") jest 1990. Dzielimy więc 1990 przez 10 i mamy 199, a więc tyle razy przybyło nam po trzy cyfry, pomnóżmy więc 199*3 i otrzymujemy 597. Teraz pozostaje nam tylko ta siódemka, której przedtem się pozbyliśmy, ale nic to. Analizujemy nasz ciąg i widzimy, iż przy siódmej potędze mamy dwie cyfry więcej i dodajemy to do naszego wyniku, otrzymując jakże piękną liczbę 599. Raczej to jest odpowiedzią, możliwe błędy mogą wyniknąć tylko w przypadku, kiedy to nie będzie prawo, kiedy będą jakieś odstępstwa od tej "mojej" reguły.

Przypadek piątki zrób podobnie.

Yavien · Post autor: **Yavien** » 2 lut 2005, o 00:38

Rogal, nie mozna zalozyc, ze dalej jest taka sama regularnosc, chociaz byles dosyc blisko, bo 2^1997 ma 602 cyfry.

5^1997 ma np k cyfr. co to znaczy? ze jest wieksza(lub rowna) 10..0 = 10k (1 i k-1 zer), a mniejsza od 10..0 = 10k+1 (jedynka i k zer)
\(\displaystyle{ 10^{k-1} q 5^{1997} q \log{5^{1997}} < k}\)
z wlasnosci logarytmu:
\(\displaystyle{ k - 1 q 1997\cdot\log5 < k}\)
logarytm z 5 bierzemy z tablic albo madrego kalkulatora, mnozymy przez 1997 i bierzemy odpowiednia liczbe calkowita k - mamy liczbe cyfr liczby 5^1997

A liczba o ktora sie pytaja w zadaniu jest rowna:
\(\displaystyle{ 10^{k-1}\cdot2^{1997}+5^{1997}}\) (gdzie k jest wyliczone poprzednim sposobem)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 2 lut 2005, o 10:28

Wiedziałem, że nie jest to dokładny sposób. Nie podobało mi się to 1024 i czułem, iż gdzieś stracę dokładność. To tylko trzy cyfry różnicy, a bez używania logarytmów, tablic i przybliżeń. Mogę być z siebie dumny .

lookasiu87 · Post autor: **lookasiu87** » 2 lut 2005, o 14:35

sorry ale ja nie znam logarytwom

Yavien · Post autor: **Yavien** » 2 lut 2005, o 14:57

Wystarczy wiedziec, ze \(\displaystyle{ \log_{10}{a^n} = n\cdot\log_{10}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \log_{10}{10} = 1}\)
\(\displaystyle{ \log_{10}{2} = 0,301029996}\)
\(\displaystyle{ \log_{10}{5} = 0,698970004}\)

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 2 lut 2005, o 18:33

takie trywialne zadanie a wy tu logarytmy cuda wianki
do rzezcy:
niech:
\(\displaystyle{ 10^a}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 2 lut 2005, o 20:53

Nie chcę nic mówić, ale tam pytanie było, ile każda z tych liczb ma cyfr, a nie obie razem, zdaje tak coś mi się . Przynajmniej ja to tak odebrałem...

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 3 lut 2005, o 00:43

lookasiu87 pisze:Cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb 2^1997 oraz 5^1997 wypisa jedna za drugą. Oblicz, ile napisano cyfr. Będę wdzięczny za każdą pomoc.

no i wsyztko jasne przeczytaj jeszce raz,

Rogal · Post autor: **Rogal** » 3 lut 2005, o 10:10

Racja, źle to zinterpretowałem.