wytłumaczyć rozwiązanie :) - kongruencja

[taka_jedna]

Treść zadania:
Dla każdej liczby naturalnej n oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) ostatnią cyfrę liczby 1+2+...n. Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+...+a_{1993}}\)
Początek treści rozwiązania:
Zauważmy, że jeżeli m i n są takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ m \equiv n od {20}}\) , to \(\displaystyle{ a_{m}=a_{n}}\)(...)
Pytanie:
Jak to zauważyć?? Ja tego kompletnie nie widzę...
Lub inaczej:
Udowodnij ktoś proszę, że to akurat mod 20 musi być a nie jakiekolwiek inne mod.

Z góry dziękuję za pomoc!

[niewiadomo]

Popatrz, interesuje cię tylko ostatnia cyfra. Znając wzór, że \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}}\) możemy rozpisać dane liczby do 20 wyrazu i zobaczyć ze od 21 wyrazu robimy to samo co robiliśmy od pierwszego wyrazu.
20 wyraz jako cyfrę jedności miał 0, podobnie jak 0 wyraz. 21 wyraz jako cyfrę jedności ma 1, bo dodajemy 21, pierwszy wyraz też miał 1 bo dodaliśmy 1.

[przemk20]

a przez kongurencje wygladalo by to tak
\(\displaystyle{ S_n = 1+2+..+n = \frac{n(n+1)}{2} \\
a_n \equiv S_n (mod \ 10) \\
a_n \equiv \frac{n(n+1)}{2} (mod \ 10) \ \
a_m \equiv \frac{m(m+1)}{2} (mod \ 10 ), \ \}\)
odejmujemy kongurencje stronami;
\(\displaystyle{ (a_n-a_m) \equiv \frac{n-m}{2} (n+m+1) (mod \ 10)}\)
zauwazmy, teraz, gdy
\(\displaystyle{ \frac{n-m}{2} \equiv 0(mod \ 10) \ \iff \ n-m \equiv 0 (mod \ 20) \ \iff \ m \equiv n (mod \ 20)}\)
to takze;
\(\displaystyle{ a_n-a_m \equiv 0 (mod 10) \ \iff \ a_n \equiv a_m (mod \ 10)}\)
ale \(\displaystyle{ a_n a_n=a_m}\)