Dowód istnienia liczby 0

[Rafal_Apr]

Witam,
spotkałem się z ciekawym zadaniem. Korzystając z trzech aksjomatów:
\(\displaystyle{ 1) a+b=b+a}\)
\(\displaystyle{ 2) (a+b)+c=a+(b+c)}\)
\(\displaystyle{ 3) a+x=b}\)

muszę pokazać, że w zbiorze liczbowym istnieje liczba 0. Zadanie mnie zaciekawiło, ponieważ zawsze uważałem, że istnienie 0 w zbiorze liczbowym jest także aksjomatem, swoistym założeniem. Chociażby definicja liczby przeciwnej opiera się o konieczność istnienia takiej liczby: \(\displaystyle{ a+ (-a) =0}\)

Pomożecie?

Pozdrawiam

[bartek118]

Jakie kwantyfikatory stoją przy punkcie 3) ?

[Rafal_Apr]

Dobre pytanie, w sumie to nie jest podane. Wydaje się, że powinno być:

\(\displaystyle{ \forall {(a,b)} \exists x \Rightarrow a+x=b}\)

[bartek118]

No to skoro szukamy liczby \(\displaystyle{ 0}\), tj. takiej, że \(\displaystyle{ a+0=a}\), to tylko z punktu 3), dla \(\displaystyle{ a=b}\) wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ a+x=a}\); wtedy ten \(\displaystyle{ x}\), to jest to \(\displaystyle{ 0}\). Pozostaje wykazać, że jest to jedyne zero oraz, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ a}\) otrzymamy ten sam \(\displaystyle{ x}\) (czyli nasze \(\displaystyle{ 0}\))

[Rafal_Apr]

Tak też właśnie przypuszczałem, z tym udowodnieniem, że to jedyne zero to sam bym nie wpadł. Dzięki wielkie!