Dowód niewymierności pierwiastka z 2 wg zasady minimum

[VanBuren]

Słowem wstępu: niedawno kupiłem sobie książkę o algebrze i teorii liczb. Rozłożył mnie już pierwszy dowód... Jestem w stanie go zrozumieć do pewnego momentu, ale chciałbym was poprosić, żebyście wytłumaczyli mi resztę [ew. udowodnili błąd w myśleniu]. Pozwolę go sobie podzielić na części, w których będę wyjaśniał swój tok rozumowania. Dodatkowo chciałbym przeprosić, że na te kilka moich postów wszystkie to prośby o pomoc w -bądź co bądź- prostych zadaniach .-.

Zakładamy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{a}{b}}\). Przy czym wybieramy najmniejszy możliwy mianownik \(\displaystyle{ b \in \NN}\).
-Najmniejszy mianownik wynosi 1, gdyż \(\displaystyle{ b \in \NN}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{ab} = 2 = \frac{a^{2} }{b^{2}}}\)
-W pierwszej części \(\displaystyle{ ab}\) w liczniku i mianowniku się skróci i zostanie 2, co się zgadza. Dodatkowo \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \Rightarrow 2 = \frac{a^{2} }{b^{2}}}\)

Stąd na mocy "odejmowana proporcji" stronami:
\(\displaystyle{ 2 = \frac{2ab - a^{2} }{ab - b^{2}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{2b - a}{a -b} = \sqrt{2} \cdot \frac{2b - a}{a - b}}\)
-To odejmowanie proporcji stronami brzmi strasznie obco, nie przypominam sobie takiej zasady.

Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{2b-a}{a-b}}\)
- Równość ta występuje, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \frac{2b - a}{a - b} = 2}\) to \(\displaystyle{ \frac{2b - a}{a - b} = \sqrt{2}}\)

Ale:
\(\displaystyle{ b < a < 2b}\) bo \(\displaystyle{ 1< \sqrt{2} < 2}\), więc \(\displaystyle{ 0 < a-b < 2b}\) i znaleźliśmy wymierne przedstawienie sqrt{2} z mniejszym mianownikiem.
- I o ile do \(\displaystyle{ 0 < a-b < 2b}\) rozumiem, bo jedyną liczbą \(\displaystyle{ \NN}\) mniejszą od 1 jest 0, to reszty już w ogóle.

[Jan Kraszewski]

Zakładamy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{a}{b}}\). Przy czym wybieramy najmniejszy możliwy mianownik \(\displaystyle{ b \in \NN}\).
-Najmniejszy mianownik wynosi 1, gdyż \(\displaystyle{ b \in \NN}\)

Błąd. Gdyby \(\displaystyle{ b=1}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) byłby liczbą naturalną, a nie jest. Chodzi o to, że przypuszczamy nie wprost, iż \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną, czyli ułamkiem i bierzemy ułamek nieskracalny.

Wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{ab} = 2 = \frac{a^{2} }{b^{2}}}\)
-W pierwszej części \(\displaystyle{ ab}\) w liczniku i mianowniku się skróci i zostanie 2, co się zgadza. Dodatkowo \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \Rightarrow 2 = \frac{a^{2} }{b^{2}}}\)

Tak.

Stąd na mocy "odejmowana proporcji" stronami:
\(\displaystyle{ 2 = \frac{2ab - a^{2} }{ab - b^{2}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{2b - a}{a -b} = \sqrt{2} \cdot \frac{2b - a}{a - b}}\)
-To odejmowanie proporcji stronami brzmi strasznie obco, nie przypominam sobie takiej zasady.

Jak nietrudno sprawdzić, jeśli \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{z}{t}}\), to \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{x-z}{y-t}}\).

Czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{2b-a}{a-b}}\)
- Równość ta występuje, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \frac{2b - a}{a - b} = 2}\) to \(\displaystyle{ \frac{2b - a}{a - b} = \sqrt{2}}\)

Tak.

Ale:
\(\displaystyle{ b < a < 2b}\) bo \(\displaystyle{ 1< \sqrt{2} < 2}\), więc \(\displaystyle{ 0 < a-b < 2b}\) i znaleźliśmy wymierne przedstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) z mniejszym mianownikiem.
- I o ile do \(\displaystyle{ 0 < a-b < 2b}\) rozumiem, bo jedyną liczbą \(\displaystyle{ \NN}\) mniejszą od 1 jest 0, to reszty już w ogóle.

Masz błąd, powinno być \(\displaystyle{ 0 < a-b < \red b\black}\)
Pokazałeś, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{2b-a}{a-b}}\), czyli masz ułamek o mianowniku mniejszym niż \(\displaystyle{ b}\), wbrew założeniu, że \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszym możliwym mianownikiem.

JK

[dawido92]

Mógłbyś podać tytuł i autora książki ?

[Ponewor]

Stąd na mocy "odejmowana proporcji" stronami:
\(\displaystyle{ 2 = \frac{2ab - a^{2} }{ab - b^{2}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{2b - a}{a -b} = \sqrt{2} \cdot \frac{2b - a}{a - b}}\)
-To odejmowanie proporcji stronami brzmi strasznie obco, nie przypominam sobie takiej zasady.

Jak nietrudno sprawdzić, jeśli \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{z}{t}}\), to \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{x-z}{y-t}}\).

Swoją drogą to nie świadczy najlepiej o tej pozycji skoro omawia tak proste fakty i powołuje się na takie zależności i to jeszcze tak enigmatycznie nazwane.

[a4karo]

Swoją drogą to nie świadczy najlepiej o tej pozycji skoro omawia tak proste fakty i powołuje się na takie zależności i to jeszcze tak enigmatycznie nazwane.

Tu się nie zgodzę. Jest wiele dobrych książek, które zaczynają od elementarza a kończą ....

Nie znając tytułu ani zawartości nie odważyłbym się na taka krytykę.

[Ponewor]

Nie do końca się zrozumieliśmy - rzecz w tym, że jak ktoś nie radzi sobie z niewymiernością pierwiastka z dwóch i trzeba mu pisać dość szczegółowy dowód, to i o tym fakcie o proporcjach nie musiał słyszeć - szczególnie, że przytoczono niepotoczną nazwę zamiast samego prostego do zapisania faktu. Zresztą napisałem, że ta konkretna rzecz daje słabe świadectwo o książce, to jeszcze nie jest opinia jako taka.

[MMDv2]

Nie do końca się zrozumieliśmy - rzecz w tym, że jak ktoś nie radzi sobie z niewymiernością pierwiastka z dwóch i trzeba mu pisać dość szczegółowy dowód, to i o tym fakcie o proporcjach nie musiał słyszeć - szczególnie, że przytoczono niepotoczną nazwę zamiast samego prostego do zapisania faktu. Zresztą napisałem, że ta konkretna rzecz daje słabe świadectwo o książce, to jeszcze nie jest opinia jako taka.

Myślę ,że to było raczej pokazanie zastosowania zasady minimum,a nie zawiłe dowodzenie niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ot tak po prostu.

Nie jestem pewny , ale prawdopodobnie ta książka to żółty skrypt "Matematyki Olimpijskiej" z podtytułem algebra i teoria liczb.