Wykaż, że liczba jest podzielna przez 10

[a456]

Wykaż, że liczba jest podzielna przez 10

\(\displaystyle{ 63 ^{63} - 43 ^{43}}\)

[Premislav]

Ze wz. dwumianowego Newtona \(\displaystyle{ 63 ^{63}\equiv 3^{63}\pmod{10}}\) oraz \(\displaystyle{ 43^{43}\equiv 3^{43}\pmod{10}}\). No a zauważmy, że \(\displaystyle{ 63\equiv 43 \pmod{4}}\) i wykaż pomocniczy fakt, iż jeżeli \(\displaystyle{ k\equiv p \pmod{4}}\), to \(\displaystyle{ 3 ^{k}\equiv 3^{p}\pmod{10}}\) (łatwe).

[sebnorth]

potęgi trójki kończą się na \(\displaystyle{ 3,9,7,1,3,9,7,1,3, \ldots}\)

\(\displaystyle{ 43}\) i \(\displaystyle{ 63}\) wyraz tego ciągu to liczba \(\displaystyle{ 7}\)

[a456]

Czy w tym rozwiązaniu nie ma błędu?

\(\displaystyle{ 63 \equiv 3 \pmod{10}}\) oraz \(\displaystyle{ 43 \equiv 3 \pmod{10}}\)
\(\displaystyle{ 63^{63} \equiv 3^{63} \pmod{10}}\) oraz \(\displaystyle{ 43^{43} \equiv 3^{43} \pmod{10}}\)

Odejmując te kongruencje stronami, a po drodze korzystając jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ 3^{20} \equiv 1 \pmod{10}}\)
dostajemy kolejno:

\(\displaystyle{ 63^{63} - 43^{43} \equiv 3^{63}-3^{43} = 3^{43}(3^{20}-1)\equiv 3^{43}(1-1) \equiv 0 \pmod{10}}\)

[Premislav]

Jest w porządku.