Wyznacz liczby spełniające równanie

[mCichy13]

\(\displaystyle{ x \in Z_{200}}\)
Wyznacz wszystkie x spełniające kongruencje
\(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x-2\right) =0\left( \mod200\right)}\)

Ogólnie nie wiem co można zrobić z x-em do potęgi.

[ZF+GCH]

Ten zapis jest odpowiedni do analizy. Mamy iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. Najpierw rozwiązania trywialne : \(\displaystyle{ x \in \left\{ 1,2\right\}}\). Szukamy pozostałych. Mamy równość \(\displaystyle{ 200=2^3 \cdot 5^2}\). Są dwie możliwości: (1) : \(\displaystyle{ x-1=0 (\mod25)}\) oraz \(\displaystyle{ x-2=24 (\mod25)}\) lub (2) : \(\displaystyle{ x-2=0 (\mod25) , x-1=1 (\mod25)}\). Dalej, tylko jedna z liczb \(\displaystyle{ (x-1),(x-2)}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\). Gdyby przez \(\displaystyle{ 8}\) była podzielna ta liczba, która jest podzielna przez \(\displaystyle{ 25}\), mielibyśmy, że \(\displaystyle{ x>200}\). Mamy więc takie układy równań do rozwiązania :
(1) \(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=0 (\mod25),\\ x-2=24 (\mod25), \\ x-2=0 (\mod8), \\ x-1=1 (\mod8) \end{cases}}\) ; (2) \(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=1 (\mod25), \\ x-2=0 (\mod25), \\ x-2=7 (\mod8), \\ x-1=0 (\mod8)\end{cases}}\).
I teraz w pamięci się przelicza. Z (1) mamy \(\displaystyle{ x=26}\), z (2) \(\displaystyle{ x=177}\).

[arek1357]

\(\displaystyle{ x=1 , x=2}\)

też spełniają

[ZF+GCH]

\(\displaystyle{ x=1 , x=2}\)

też spełniają

Tak, napisałem o tym na początku.

[mCichy13]

Jak zabrać się za coś takiego? Wyznacz wszystkie 3 cyfrowe liczby x

\(\displaystyle{ x^{3}=x\left( \mod 10^{3} \right)}\)

[ZF+GCH]

Podobnie spróbuj. Przerzuć \(\displaystyle{ x}\) na lewą stronę i rozłóż na czynniki.