Dowód z nierównością

[isio05]

Cześć

W trakcie rozwiązywania zadań natknąłem się jeszcze na takie coś:

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ x _{1} x _{2} x _{3} ... x_{n} =1}\) (liczby są dodatnie) to \(\displaystyle{ \left( 1+x _{1} \right)\left( 1+ x_{2} \right)+...+\left( 1+x _{n} \right) \ge 2 ^{n}}\)
Tu myślałem o przedstawieniu tego w postaci \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2}+...+x _{n} + n}\). I działaniu dalej na tym z wykorzystaniem tw. o średniej arytmetycznej i geo.

Bardziej niż na rozwiązaniu zależy mi na tym, żeby jakiś dobry człowiek powiedział po prostu jakich należy użyć środków do rozwiązania

[Zahion]

Średnia geometryczna, a jak nie wiesz czego, to masz tu inny hint

Ukryta treść:    

dla \(\displaystyle{ i = 1,2,...,n}\) mamy, że \(\displaystyle{ 1 +x _{i} \ge 2 \sqrt{x _{i} }}\), stąd \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1+x _{i}) \ge (...) ?}\)

[isio05]

Powiem szczerze, nie za bardzo do mnie przemawia ta podpowiedz.
Można trochę raźniej to wytłumaczyć?

[Zahion]

Skoro dla dowolnego \(\displaystyle{ i=1,2...,n}\) masz nierówność \(\displaystyle{ 1 + x _{i} \ge 2 \sqrt{x _{i} }}\) to jak możesz oszacować wyrażenie \(\displaystyle{ (1+x _{1})...(1+x _{n})}\) ? Korzystając z tej nierówności ?

[isio05]

Hm, chodzi o to, że po lewej stronie \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1+x _{i}) \ge (...)}\) jest suma wszystkich elementów \(\displaystyle{ \left( 1+x _{1} \right)\left( 1+ x_{2} \right)+...+\left( 1+x _{n} \right)}\), a po prawej jest dwójka i średnia geometryczna wyrazów \(\displaystyle{ x _{1} x _{2} x _{3} ... x_{n}}\),która równa się jeden?

[bakala12]

średnia geometryczna wyrazów \(\displaystyle{ x _{1} x _{2} x _{3} ... x_{n}}\),która równa się jeden?

Tam jest ich iloczyn pod pierwiastkiem kwadratowym. Średnia geometryczna byłaby pod pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ n}\). Tak czy inaczej z założenia iloczyn \(\displaystyle{ x _{1} x _{2} x _{3} ... x_{n}}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
Tak czy inaczej tak naprawdę to stosujemy nierówność o średnich dla każdego nawiasu osobno

[a4karo]

Hm, chodzi o to, że po lewej stronie\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1+x _{i}) \ge (...)}\)jest suma wszystkich elementów

Suma???