Nierówność Muirheada

[Zahion]

Mamy pewną nierówność w liczbach dodatnich, mianowicie :
\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{x _{2}+...+x _{n} }+...+ \frac{x _{n} }{x _{1}+...+x _{n-1} } \ge \frac{n}{n-1}}\)
Nierówność ta jest jednorodna ?
Jeśli tak to można udowodnić ją prosto przy założeniu, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x _{i} = 1}\) wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ i = 1,2...,n}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{x _{i} }{1-x _{i} } \ge 2x _{i}}\) czyli sumując dla \(\displaystyle{ i = 1,2...,n}\) kolejno i korzystając założenia dostajemy \(\displaystyle{ L \ge 2 \ge \frac{n}{n-1}}\), co sprowadzi nas do sprawdzenia oczywistego przypadku \(\displaystyle{ n = 1}\).
Natomiast jak to rozwiązać Muirheadem ? Trzeba sobie wyobrazić co dostaniemy po wymnożeniu tego wszytkiego ?
Nadto może ktoś nadmienić czym są równości, nierówności symetryczne, cykliczne, jednorodne.
Pozdrawiam

[bakala12]

Rozważmy dowolne wyrażenie będące funkcją:
\(\displaystyle{ f\left( x_{1},x_{2},\dots, x_{n}\right)}\)
Wyrażenie jest:
1. Symetryczne, jeżeli zachodzi:
\(\displaystyle{ f\left( x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(n)}\right)=f\left( x_{1},x_{2},\dots, x_{n}\right)}\)
dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2 ,3, \dots, n\right\}}\)
2. Cykliczne, jeżeli zachodzi to co powyżej dla dowolnego cyklicznego przestawienia zmiennych, tzn:
\(\displaystyle{ f\left( x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(n)}\right)=f\left( x_{1},x_{2},\dots, x_{n} \right)}\)
dla \(\displaystyle{ \sigma(i)=\left(i+k\right) \pmod{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k=1,2,\dots, n}\).
3. Jednorodne, rzędu \(\displaystyle{ k}\), jeżeli zachodzi:
\(\displaystyle{ f\left( \lambda x_{1}, \lambda x_{2},\dots, \lambda x_{n}\right)=\lambda ^{k} \cdot f\left( x_{1},x_{2},\dots, x_{n}\right)}\)

Stąd wynikają ciekawe własności, na przykład:
1. W wyrażeniach symetrycznych można nie tracąc ogólności założyć porządek zmiennych, na przykład:
\(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \le \dots \le x_{n}}\)
2. W wyrażeniach cyklicznych można bez straty ogólności przyjąć maksymalność bądź minimalność którejś ze zmiennych, na przykład \(\displaystyle{ x_{1}=\max\left\{ x_{1},x_{2},\dots, x_{n}\right\}}\)

Co do Muirheada, to niech się wypowie ktoś kto używa tego regularnie, a nie tak jak ja zrobił z tego kilka nierówności kilka lat temu na jakimś kółku matematycznym

[Zahion]

A gdy są jednorodne to można bez straty ogółu zakładać, że suma tych liczb wynosi (...), tak ?
Czy moja nierówność jest jednorodna ?

[bakala12]

A gdy są jednorodne to można bez straty ogółu zakładać, że suma tych liczb wynosi (...), tak ?

Można zdecydowanie więcej. Szczegóły w temacie: viewtopic.php?t=117396 .

Czy moja nierówność jest jednorodna ?

Sprawdź warunek na jednorodność to się dowiesz. Nierówność jest jednorodna jeśli obie jej strony są wyrażeniami jednorodnymi tego samego rzędu.

EDIT: Wykorzystując okazję. Ładna liczb postów mi wybiła

[Zahion]

Sprawdzając z definicji widzę, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( \lambda x_{1}, \lambda x_{2},\dots, \lambda x_{n}\right)= f\left( x_{1},x_{2},\dots, x_{n}\right)}\)
Czyli \(\displaystyle{ k = 0}\), więc jest jednorodna ?
Ładna, ładna

[bakala12]

Tak jest.

[a4karo]

Natomiast Twoja "nierówność" \(\displaystyle{ \frac{x _{i} }{1-x _{i} } \ge 2x _{i}}\) trochę jakby zbyt silna jest

-- 30 gru 2014, o 23:13 --

A może tak: \(\displaystyle{ \frac{x_i}{1-x_i}=x_i+x_i^2+x_i^3+\dots}\)

[Zahion]

Dziękuje za zauważenie, nie pamiętam jak to robiłem, ale wyszło mi bodajże \(\displaystyle{ x _{i} \ge 0}\)
A czy mogę przyjąć, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x _{i} = n}\) ?
Wtedy mielibyśmy :
\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{x _{2}+...+x _{n} }+...+ \frac{x _{n} }{x _{1}+...+x _{n-1} } \ge \frac{(x _{1}+...+x _{n})^{2} }{(n-1)(x_{1}+...+x _{n})}= \frac{n}{n-1}}\) ?
Czy ja mogę sobie przybrać dowolną sumę ?

[a4karo]

Chyba nie uważałeś, jak był przerabiany temat jednorodność. Jak pomnożysz (podzielisz) wszystkie wyrazy przez dowolną stałą, to lewa strona sie nie zmienia, więc możesz sobie założyć, że suma jest taka, jaką sobie zażyczysz.

\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{x _{2}+...+x _{n} }+...+ \frac{x _{n} }{x _{1}+...+x _{n-1} } \ge \frac{(x _{1}+...+x _{n})^{2} }{(n-1)(x_{1}+...+x _{n})}= \frac{n}{n-1} ?}\)

A skąd ta pierwsza nierówność?

[Zahion]

Skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{y _{1} }+...+ \frac{x _{n} }{y _{n} } \ge \frac{(x _{1}+...+ x_{n})^{2} }{y _{1}+...+y _{n} }}\), poprawnie ?

[bosa_Nike]

Iksy po lewej powinny być w kwadratach.

Jeżeli sposób nie ma znaczenia, to ta nierówność daje się udowodnić przez dwukrotne zastosowanie nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Niech \(\displaystyle{ s=\sum x_i}\), mamy:

\(\displaystyle{ \sum\frac{x_i}{s-x_i}\ge\frac{s^2}{s^2-\sum x_i^2}\ge\frac{n}{n-1}}\)

Lewa jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ \sum\left(x_i\left(s-x_i\right)\right)=s^2-\sum x_i^2}\)

Prawa jest prawdziwa, bo z C-S: \(\displaystyle{ n\sum{x_i^2}\ge s^2}\)

[Zahion]

Ostatnio zauważyłem, że za często popełniam błędy z braku uwagi.
Inaczej, aczkolwiek podobnie.
niech \(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{n}x _{i}}\) mamy kolejno, że
\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{S - x _{1} }+...+ \frac{x _{n} }{S-x _{n} } \ge \frac{(x _{1}+...+x _{n})^{2} }{x _{1}(S-x _{1})+...+x _{n}(S-x _{n}) }= \frac{S^{2}}{S(x _{1}+...+x _{n})-(x _{1}^{2}+...+x _{n}^{2}) }= \frac{S^{2}}{S^{2}-(x _{1}^{2}+...+x _{n}^{2})} \ge \frac{S^{2}}{S^{2}- \frac{S^{2}}{n} }= \frac{S^{2}n}{S^{2}n-S^{2}}= \frac{n}{n-1}}\)
Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{y_{1}}+...+ \frac{x _{n} }{y _{n} } \ge \frac{(x _{1}+...+x _{n})^{2} }{x _{1}y _{1}+...+x _{n}y _{n} }}\) druga to skorzystanie z tego, że mamy \(\displaystyle{ x _{1}^{2}+...+x _{n}^{2} \ge \frac{S^{2}}{n}}\)
Poprawnie ?

-- 30 gru 2014, o 23:13 --

A może tak: \(\displaystyle{ \frac{x_i}{1-x_i}=x_i+x_i^2+x_i^3+\dots}\)

Dopiero zauważyłem Pana wskazówkę, może Pan mi bardziej objaśnić ?

[a4karo]

Albo źle patrzę , albo czegoś niedowidzę, ale nie wiem skąd wziąłeś pierwszą nierówność...

Objaśniam: to jest wzór na sumę szeregu geometrycznego (przy założeniu, że \(\displaystyle{ S=\sum x_i=1}\)

teraz
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1-x_i}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^\infty x_i^k=\sum_{k=1}^\infty\sum_{i=1}^n x_i^k}\) i teraz dla każdego składnika nierówność Muirheada. Może pójdzie?

[bakala12]

Jak już wszyscy zaczęli rzucać najróżniejszymi nierównościami które udowadniają nierówność podaną przez Zachiona, to ja też dorzucę swoje trzy grosze:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ S= \sum_{i=1}^{n}x_{i}}\) oraz niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{S-x}}\)
Łatwo wykazać, licząc dwie pochodne, że \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,S\right)}\). Zatem na mocy nierówności Jensena dostajemy tezę:
\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{S-x_{i}}=\sum_{i=1}^{n} f\left( x_{i}\right) \ge n \cdot f\left( \frac{S}{n}\right)=n \cdot \frac{\frac{S}{n}}{S-\frac{S}{n}}=\frac{n}{n-1}=P}\)

[Ponewor]

O nierówności jednorodne już pytałeś swojego czasu
viewtopic.php?t=364396.htm