Dowód ze wzorem skróconego mnożenia

[Tomas_91]

Mam do rozwiązania takie (banalne?) zadanie:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a,b \in R}\), to \(\displaystyle{ a ^{2} +ab+ b^{2} \ge 0}\)

Chcąc wyjść od wzorów skróconego mnożenia, natrafiłem na pewien problem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( a+b\right)^2 \ge 0 \\ \left( a-b\right)^2 \ge 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 +2ab+b^2 \ge 0 \\ a^2 -2ab+b^2 \ge 0 \end{cases}}\)

Odejmuje stronami i pojawia się problem:

\(\displaystyle{ 4ab \ge 0}\)
\(\displaystyle{ ab \ge 0}\)

Wychodzi na to, że obie muszę być dodatnie lub obie ujemne. Gdzie jest błąd (przecież nierówności są spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych?!

[Zahion]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a+b)^{2}+ \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}) \ge 0}\)

[Tomas_91]

A co z tymi przejściami, które napisałem w pierwszym poście?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ 1>0}\)

\(\displaystyle{ 1>-1}\)

odejmujemy stronami i dostajemy:

\(\displaystyle{ 0>1}\)

widzisz już swój błąd?

[Tomas_91]

Taka oczywistość a w sumie nie zdawałem sobie z niej sprawy.....

[a456]

W sumie problem rozwiązany, wyjdzie na to samo ale jeszcze napiszę.
Można w taki sposób:

\(\displaystyle{ a ^{2} +ab+ b^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2} +ab + \frac{1}{4} b^{2} + \frac{3}{4} b^{2}\ge 0}\)
\(\displaystyle{ (a+ \frac{1}{2} b)^{2}+\frac{3}{4} b^{2}\ge 0}\)