Wykazać trudną niewymierność

[ms7]

Na kolokwium z analizy dostałem takie zadanie:

Wykazać niewymierność:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt[3]{5}}}\)

Nie potrafię tego rozwiązać, właściwie nie mam pomysłu na usunięcie pierwiastków z mianownika. Tutaj pewnie znajdzie się ktoś kto zauważy w tym zadaniu coś sensownego, będę więc wdzięczny za każdą wskazówkę.

[szw1710]

Pomysł jest taki: znaleźć wielomian minimalny tej liczby i wyznaczyć jego pierwiastki. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych albo takowych nie będzie, albo ten szukany nie będzie pierwiastkiem wymiernym.

Wielomian ten istnieje, bo liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt[3]{5}}\) są algebraiczne, a wszystkie liczby algebraiczne tworzą ciało. Wydaje mi się, że będzie to wielomian szóstego stopnia.

[Zordon]

Chętnie zobaczyłbym realizację tego pomysłu powyżej.
Ja bym pokazał, że \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt{2})\cap \QQ(\sqrt[6]{5})=\QQ}\), z tego już łatwo wynika niewymierność tej liczby.

[szw1710]

Ja też bym chciał. Koszmar w biały dzień. Tak się zastanawiam, jak to można wymyślić w stresie czasowym na kolokwium. Dlatego sam na kolokwiach daję zadania łatwe i standardowe sprawdzające podstawowe umiejętności. Nigdy nie umiałem pisać kolokwiów, bo za bardzo się denerwowałem. A na ludzi wyszedłem

[ms7]

Dziękuję Panowie. Jutro pokombinuję i w razie czego będę pytał dalej

Niestety u mnie na uczelni ćwiczenia są od robienia najprostszych przykładów, a kolokwia od mordowania studentów, gdzie w pierwszym terminie zdaje tylko 2 na 50 studentów i to z minimalną liczbą punktów potrzebnych do zaliczenia - na szczęście tylko na analizie

Wesołych Świąt!

[szw1710]

... w pierwszym terminie zdaje tylko 2 na 50 studentów i to z minimalną liczbą punktów ...

To nie jest normalne.

[arek1357]

Widać ,że wykładowca zawyża poziom ale chyba kierunek nie za dobry!

[szw1710]

Niektórzy mają ambicję: dawać bardzo trudne zadania, aby wychwycić najlepszych. Ale to nie metoda. Kolokwia mają sprawdzać opanowanie standardowego materiału, a nie szybkość myślenia w warunkach stresu. Ja działam jak walec drogowy: nie potrafię prawie niczego zrozumieć w trakcie wykładu (chyba że dotyczy on mojej dziedziny i jest bliski temu, czym się zajmuję). Ale potem czytam, analizuję i rozumiem. Myślę bardzo wolno, ale chyba skutecznie.

[krl]

Wstrzymajmy się z potępianiem wykładowcy, nie znamy pełnego kontekstu. Może to tylko jedno z zadań na kolokwium, a pozostałe są proste? Inna rzecz, że zwyczajowo po kolokwium powinny być omówione rozwiązania zadań, wtedy można się dowiedzieć, jak wykładowca wyobrażał sobie rozwiązanie.
No, bo przecież to jest zadanie na kolokwium z analizy, a nie algebry. Więc powinna być tu zastosowana metoda analityczna, bez stosowania algebry wyższej.

[szw1710]

Zauważ, że ja nie potępiam nikogo, tylko zwracam uwagę na to, że przedstawione zadanie jest zbyt trudne jak na kolokwium. Jeśli już potępiać, to czyn, a nie człowieka.

Omawiane zadanie świetnie natomiast nadaje się na pracę domową.