Nierówność z ntą liczbą pierwszą

[Fiszer]

Wykaż, że zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ p _{n} < e ^{n+1}}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ p_{n}}\) to nta liczba pierwsza.

Wskazówki byłyby mile widziane.

Z góry dziękuję

[musialmi]

Wskazówka: to zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej, więc w szczególności dla naturalnych, w szczególności dla pierwszych.

[Fiszer]

To rozumiem, tylko skąd mamy pewność, że ta nta liczba pierwsza na pewno jest mniejsza o tego
\(\displaystyle{ e^{n+1}}\) ?

[Qń]

to zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej

Co zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej?

Co do zadania - jeśli można korzystać z , to łatwo z niego wynika \(\displaystyle{ 2p_n\ge p_{n+1}}\), a z tego przez indukcję wynika teza zadania.

Q.

[Fiszer]

Jeśli taka nierówność zachodzi, to sprawa jest załatwiona, tylko nie jestem pewien czy można z tego korzystać. Ale dzięki wielkie!

PS Ten wniosek, że \(\displaystyle{ 2p_{n} \ge p_{n+1}}\) można uzyskać tak, że skoro między n i 2n jest liczba pierwsza, to wystarczy przyjąć za \(\displaystyle{ n=p_{n}}\) dobrze rozumiem?

[musialmi]

to zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej

Co zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej?

Oczywiście chodziło mi o \(\displaystyle{ n<e^{n+1}}\), ale nie ma to jak dawać wskazówkę, która jest niezwiązana z tematem... Przepraszam za to, Fiszer.