Granica górna różnicy dwóch kolejnych liczb pierwszych

[Fiszer]

Zadanie z podręcznika W. Narkiewicza.

Udowodnij, że

granica górna różnicy \(\displaystyle{ p_{n+1} - p _{n} = \infty}\),
gdzie \(\displaystyle{ p _{n}}\) to nta liczba pierwsza.

Podobno znanym faktem jest to, że w zbiorze liczb naturalnych istnieją "dowolnie długie odcinki", w których nie ma liczb pierwszych. Jednakże jak ten fakt pokazać, ew. posiada ktokolwiek link do dowodu tego faktu?

Z góry dziękuję

PS Jak zapisać w latex-u lim sup?

[Qń]

Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) łatwo wskazać ciąg \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb złożonych:
\(\displaystyle{ (n+1)!+2,(n+1)!+3,(n+1)!+4, \ldots , (n+1)!+ n+1}\)

Q.

[Fiszer]

Aha, czyli mam rozumieć, że w ten sposób tworzę sobie łańcuch długości n elementów, kolejnych liczb naturalnych w którym nie ma liczby pierwszej? Więc wracając do naszego zadania, zakładając nie wprost, że nasza ww. różnica jest ograniczona dla każdej liczby naturalnej n przez jakąś liczbę M, wystarczy, że wskaże łańcuch długości M bez liczby pierwszej, wtedy mogę znaleźć takie dwie kolejne liczby pierwsze, że ich różnica będzie większa od M. Otrzymana sprzeczność pokaże, że ta różnica nie jest ograniczona z góry, a stąd już wniosek, że granica górna to nieskończoność?

[Qń]

Tak, z grubsza rzecz biorąc o to chodzi.

Q.

[Fiszer]

Wielkie dzięki!