Przyjmijmy że:
\(\displaystyle{ a \cdot b = f \\
0 < a < b < f \\
a,b,f \ - \ liczby \ naturalne \ nieparzyste}\)
Mamy metodę rozkładu liczby na czynniki pierwsze która szuka czynnik a w kolejnych grupach liczb \(\displaystyle{ od \ \sqrt{f} \ do \ 2}\) - powiedzmy że działa to poprawnie dla każdej liczby niezależnie od jej wielkości. Mamy też drugą metodę, podobną w założeniach do pierwszej metody która szuka czynnik a od razu w całym zakresie t.j. \(\displaystyle{ od \ \sqrt{f} \ do \ 2}\) i jako wynik podaje czynnik a dla najniższej wartości liczby naturalnej podniesionej do kwadratu która spełnia określone założenia - i tutaj mam pewien problem z którym nie daje rady: dlaczego ta metoda działa poprawnie dla niedużych liczb, a dla dużych liczb podaje niepoprawny wynik. Czy są jakieś różnice np. we właściwościach przy mnożenie liczb małych i dużych?
Różnice przy mnożeniu liczb małych i dużych?
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Różnice przy mnożeniu liczb małych i dużych?
Powiedzmy że program liczy poprawnie liczby tej wielkości.
Czy poniższe założenia są prawdziwe?
Ad-I.
Równanie:
\(\displaystyle{ (\frac{b-a}{2}+a)^{2}=(\frac{b+a}{2})^{2}}\)
jest równoznaczne równaniu:
\(\displaystyle{ c^{2}+f=d^{2}}\)
Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby f podzielimy przez cztery, to otrzymamy resztę równą:
a) 1 - wtedy c jest liczbą parzystą, d liczbą nieparzystą;
b) 3 - wtedy c jest liczbą nieparzystą, d liczbą parzystą.
Ad-II.
Funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \ x\in \mathbb{N}}\) można przedstawić w postaci dwóch ciągów kolejnych liczb naturalnych:
- ciąg pierwszy: \(\displaystyle{ ](1,2,3,4,5,\ldots, \infty)}\) - odpowiada za ilość jedynek w danej liczbie podniesionej do kwadratu;
- ciąg drugi: \(\displaystyle{ ](0,1,2,3,4,\ldots, \infty)}\) - odpowiada za ilość dwójek w danej liczbie podniesionej do kwadratu.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
1^{2} & 1 & 0 \\
2^{2} & 2 & 1 \\
3^{2} & 3 & 2 \\
4^{2} & 4 & 3 \\
5^{2} & 5 & 4 \\
6^{2} & 6 & 5 \\
7^{2} & 7 & 6 \\
8^{2} & 8 & 7 \\
9^{2} & 9 & 8 \\
10^{2} & 10 & 9 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Na przykład w liczbie \(\displaystyle{ 9^{2} \ mamy \ 9 \ jedynek \ i \ 36 \ \tekst {dwójek} \ (\underbrace{0+1+2+3+4+5+6+7+8}_{36})}\)
Ad-III.
Każda liczba naturalna równa dwa lub większa, podniesiona do kwadratu ma przypisane na stałe pary liczb, wśród których jest przynajmniej jedna para liczb złożona z liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & (0,4),(1,3),{\red (2,2)},(3,1),(4,0) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & (0,6),(1,5),(2,4),{\red (3,3)},(4,2),(5,1),(6,0) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & (0,8),(1,7),(2,6),{\red (3,5)},(4,4),{\red (5,3)},(6,2),(7,1),(8,0) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & (0,10),(1,9),(2,8),{\red (3,7)},(4,6),{\red (5,5)},(6,4),{\red (7,3)},(8,2),(9,1),(10,0) \\
\end{tabular}}\)
Czy poniższe założenia są prawdziwe?
Ad-I.
Równanie:
\(\displaystyle{ (\frac{b-a}{2}+a)^{2}=(\frac{b+a}{2})^{2}}\)
jest równoznaczne równaniu:
\(\displaystyle{ c^{2}+f=d^{2}}\)
Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby f podzielimy przez cztery, to otrzymamy resztę równą:
a) 1 - wtedy c jest liczbą parzystą, d liczbą nieparzystą;
b) 3 - wtedy c jest liczbą nieparzystą, d liczbą parzystą.
Ad-II.
Funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \ x\in \mathbb{N}}\) można przedstawić w postaci dwóch ciągów kolejnych liczb naturalnych:
- ciąg pierwszy: \(\displaystyle{ ](1,2,3,4,5,\ldots, \infty)}\) - odpowiada za ilość jedynek w danej liczbie podniesionej do kwadratu;
- ciąg drugi: \(\displaystyle{ ](0,1,2,3,4,\ldots, \infty)}\) - odpowiada za ilość dwójek w danej liczbie podniesionej do kwadratu.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
1^{2} & 1 & 0 \\
2^{2} & 2 & 1 \\
3^{2} & 3 & 2 \\
4^{2} & 4 & 3 \\
5^{2} & 5 & 4 \\
6^{2} & 6 & 5 \\
7^{2} & 7 & 6 \\
8^{2} & 8 & 7 \\
9^{2} & 9 & 8 \\
10^{2} & 10 & 9 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Na przykład w liczbie \(\displaystyle{ 9^{2} \ mamy \ 9 \ jedynek \ i \ 36 \ \tekst {dwójek} \ (\underbrace{0+1+2+3+4+5+6+7+8}_{36})}\)
Ad-III.
Każda liczba naturalna równa dwa lub większa, podniesiona do kwadratu ma przypisane na stałe pary liczb, wśród których jest przynajmniej jedna para liczb złożona z liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & (0,4),(1,3),{\red (2,2)},(3,1),(4,0) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & (0,6),(1,5),(2,4),{\red (3,3)},(4,2),(5,1),(6,0) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & (0,8),(1,7),(2,6),{\red (3,5)},(4,4),{\red (5,3)},(6,2),(7,1),(8,0) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & (0,10),(1,9),(2,8),{\red (3,7)},(4,6),{\red (5,5)},(6,4),{\red (7,3)},(8,2),(9,1),(10,0) \\
\end{tabular}}\)
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Różnice przy mnożeniu liczb małych i dużych?
Ad. 3 wynikałaby w bardzo prosty sposób z hipotezy Goldbacha. Ale nikt jeszcze dowodu tejże nie przedstawił i dość prawdopodobne jest, że nawet ten Twój szczególny przypadek nie jest roztrzygnięty. Także możliwe, że na ten moment matematyka nie zna jeszcze odpowiedzi na Twoje stwierdzenie.
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Różnice przy mnożeniu liczb małych i dużych?
Wydaje mi się, że nie spotkałem się z hipotezą Goldbacha.
Na wstępie króciutkie wyjaśnienie, w drugiej metodzie rozkładu na czynniki jest przyjęte założenie że przy mnożeniu liczb naturalnych nie ma przemienności mnożenia: \(\displaystyle{ a \cdot b \neq b \cdot a}\) - iloczyn jest co prawda taki sam ale inny jest dla tych mnożeń np. zakres liczb naturalnych podniesionych do kwadratu. Dlatego posłużę się trochę zmienionym zestawem par liczb uwzględniającym przemienność mnożenia.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & {\red (2,2)},(1,3),(0,4) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & {\red (3,3)},(2,4),(1,5),(0,6) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & (4,4),{\red (3,5)},(2,6),(1,7),(0,8) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & {\red (5,5)},(4,6),{\red (3,7)},(2,8),(1,9),(0,10) \\
6^{2} & 2\cdot6=12 & (6,6),{\red (5,7)},(4,8),(3,9),(2,10),(1,11),(0,12)) \\
\end{tabular}}\)
Hipoteza Goldbacha:
każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Jestem słaby w tłumaczeniu ale spróbuję to zrobić, proszę spojrzeć na tabelkę poniżej:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rrcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & f_{2}(x)=-(x-2)^{2}+2^{2} & {\red (2,2)},(1,3),(0,4) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & f_{3}(x)=-(x-3)^{2}+3^{2} & {\red (3,3)},(2,4),(1,5),(0,6) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & f_{4}(x)=-(x-4)^{2}+4^{2} & (4,4),{\red (3,5)},(2,6),(1,7),(0,8) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & f_{5}(x)=-(x-5)^{2}+5^{2} & {\red (5,5)},(4,6),{\red (3,7)},(2,8),(1,9),(0,10) \\
6^{2} & 2\cdot6=12 & f_{6}(x)=-(x-6)^{2}+6^{2} & (6,6),{\red (5,7)},(4,8),(3,9),(2,10),(1,11),(0,12) \\
7^{2} & 2\cdot7=14 & f_{7}(x)=-(x-7)^{2}+7^{2} & {\red (7,7)},(6,8),(5,9),(4,10),{\red (3,11)},(2,12),(1,13),(0,14) \\
8^{2} & 2\cdot8=16 & f_{8}(x)=-(x-8)^{2}+8^{2} & (8,8),(7,9),(6,10),{\red (5,11)},(4,12),{\red (3,13)},(2,14),(1,15),(0,16) \\
9^{2} & 2\cdot9=18 & f_{9}(x)=-(x-9)^{2}+9^{2} & (9,9),(8,10),{\red (7,11)},(6,12),{\red (5,13)},(4,14),(3,15),(2,16),(1,17),(0,18) \\
itd.
\end{tabular}}\)
Liczbie 4 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{2}(x)=-(x-2)^{2}+2^{2}}\)
Liczbie 6 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{3}(x)=-(x-3)^{2}+3^{2}}\)
Liczbie 8 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{4}(x)=-(x-4)^{2}+4^{2}}\)
itd.
Dla przypomnienia początkowe liczby pierwsze:
\(\displaystyle{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101}\)
Graficzne przedstawienie.
Interesują nas tylko liczby naturalne, więc weźmy pierwszą ćwiartkę kartezjańskiego układu współrzędnych i narysujmy powyższe funkcje kwadratowe. Pierwszą liczbą jest 2, zaznaczamy na wykresie punk (2,4) - wyjątek od reguły, pierwszą funkcję mamy z głowy. Kolejną liczbą pierwszą jest 3. Rysujemy prostą \(\displaystyle{ y=3x}\) przechodzącą przez punkty: (0,0) oraz (3,9).
Zaznaczmy kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ll}
punkt:(3,3^{2}) & \text {wykreślamy} f_{3}(x) \\
punkt:(5,4^{2}-1^{2}) & \text {wykreślamy} f_{4}(x) \\
punkt:(7,5^{2}-2^{2}) & \text {wykreślamy} f_{5}(x) \\
punkt:(11,7^{2}-4^{2}) & \text {wykreślamy} f_{7}(x) \\
punkt:(13,8^{2}-5^{2}) & \text {wykreślamy} f_{8}(x) \\
punkt:(17,10^{2}-7^{2}) & \text {wykreślamy} f_{10}(x) \\
punkt:(19,11^{2}-8^{2}) & \text {wykreślamy} f_{11}(x) \\
punkt:(23,13^{2}-10^{2}) & \text {wykreślamy} f_{13}(x) \\
punkt:(29,16^{2}-13^{2}) & \text {wykreślamy} f_{16}(x) \\
punkt:(31,17^{2}-14^{2}) & \text {wykreślamy} f_{17}(x) \\
punkt:(37,20^{2}-17^{2}) & \text {wykreślamy} f_{20}(x) \\
punkt:(41,22^{2}-19^{2}) & \text {wykreślamy} f_{22}(x) \\
itd. \\
\end{tabular}}\)
Bierzemy kolejną liczbę pierwszą 5, rysujemy prostą \(\displaystyle{ y=5x}\) przechodzącą przez punkty: (0,0) oraz (5,25) i w podobny sposób zaznaczamy kolejne punkty na wykresie. W następnej kolejności postępujemy podobnie dla kolejnych liczb pierwszych. Jeśli przyjrzeć się temu bliżej to intuicyjnie można dojść do wniosku że powyższa hipoteza jest bardzo prawdopodobna. Innym podejściem do tego zagadnienia może być próba udowodnienie że graficzne przedstawienie równania \(\displaystyle{ (\frac{b-a}{2}+a)^{2}=(\frac{b+a}{2})^{2}}\) jest fałszywe - gdyby to była prawda znaczyło by to że powyższa hipoteza jest fałszywa.
Na wstępie króciutkie wyjaśnienie, w drugiej metodzie rozkładu na czynniki jest przyjęte założenie że przy mnożeniu liczb naturalnych nie ma przemienności mnożenia: \(\displaystyle{ a \cdot b \neq b \cdot a}\) - iloczyn jest co prawda taki sam ale inny jest dla tych mnożeń np. zakres liczb naturalnych podniesionych do kwadratu. Dlatego posłużę się trochę zmienionym zestawem par liczb uwzględniającym przemienność mnożenia.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & {\red (2,2)},(1,3),(0,4) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & {\red (3,3)},(2,4),(1,5),(0,6) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & (4,4),{\red (3,5)},(2,6),(1,7),(0,8) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & {\red (5,5)},(4,6),{\red (3,7)},(2,8),(1,9),(0,10) \\
6^{2} & 2\cdot6=12 & (6,6),{\red (5,7)},(4,8),(3,9),(2,10),(1,11),(0,12)) \\
\end{tabular}}\)
Hipoteza Goldbacha:
każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Jestem słaby w tłumaczeniu ale spróbuję to zrobić, proszę spojrzeć na tabelkę poniżej:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rrcl}
2^{2} & 2\cdot2=4 & f_{2}(x)=-(x-2)^{2}+2^{2} & {\red (2,2)},(1,3),(0,4) \\
3^{2} & 2\cdot3=6 & f_{3}(x)=-(x-3)^{2}+3^{2} & {\red (3,3)},(2,4),(1,5),(0,6) \\
4^{2} & 2\cdot4=8 & f_{4}(x)=-(x-4)^{2}+4^{2} & (4,4),{\red (3,5)},(2,6),(1,7),(0,8) \\
5^{2} & 2\cdot5=10 & f_{5}(x)=-(x-5)^{2}+5^{2} & {\red (5,5)},(4,6),{\red (3,7)},(2,8),(1,9),(0,10) \\
6^{2} & 2\cdot6=12 & f_{6}(x)=-(x-6)^{2}+6^{2} & (6,6),{\red (5,7)},(4,8),(3,9),(2,10),(1,11),(0,12) \\
7^{2} & 2\cdot7=14 & f_{7}(x)=-(x-7)^{2}+7^{2} & {\red (7,7)},(6,8),(5,9),(4,10),{\red (3,11)},(2,12),(1,13),(0,14) \\
8^{2} & 2\cdot8=16 & f_{8}(x)=-(x-8)^{2}+8^{2} & (8,8),(7,9),(6,10),{\red (5,11)},(4,12),{\red (3,13)},(2,14),(1,15),(0,16) \\
9^{2} & 2\cdot9=18 & f_{9}(x)=-(x-9)^{2}+9^{2} & (9,9),(8,10),{\red (7,11)},(6,12),{\red (5,13)},(4,14),(3,15),(2,16),(1,17),(0,18) \\
itd.
\end{tabular}}\)
Liczbie 4 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{2}(x)=-(x-2)^{2}+2^{2}}\)
Liczbie 6 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{3}(x)=-(x-3)^{2}+3^{2}}\)
Liczbie 8 odpowiada funkcja \(\displaystyle{ f_{4}(x)=-(x-4)^{2}+4^{2}}\)
itd.
Dla przypomnienia początkowe liczby pierwsze:
\(\displaystyle{ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101}\)
Graficzne przedstawienie.
Interesują nas tylko liczby naturalne, więc weźmy pierwszą ćwiartkę kartezjańskiego układu współrzędnych i narysujmy powyższe funkcje kwadratowe. Pierwszą liczbą jest 2, zaznaczamy na wykresie punk (2,4) - wyjątek od reguły, pierwszą funkcję mamy z głowy. Kolejną liczbą pierwszą jest 3. Rysujemy prostą \(\displaystyle{ y=3x}\) przechodzącą przez punkty: (0,0) oraz (3,9).
Zaznaczmy kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ll}
punkt:(3,3^{2}) & \text {wykreślamy} f_{3}(x) \\
punkt:(5,4^{2}-1^{2}) & \text {wykreślamy} f_{4}(x) \\
punkt:(7,5^{2}-2^{2}) & \text {wykreślamy} f_{5}(x) \\
punkt:(11,7^{2}-4^{2}) & \text {wykreślamy} f_{7}(x) \\
punkt:(13,8^{2}-5^{2}) & \text {wykreślamy} f_{8}(x) \\
punkt:(17,10^{2}-7^{2}) & \text {wykreślamy} f_{10}(x) \\
punkt:(19,11^{2}-8^{2}) & \text {wykreślamy} f_{11}(x) \\
punkt:(23,13^{2}-10^{2}) & \text {wykreślamy} f_{13}(x) \\
punkt:(29,16^{2}-13^{2}) & \text {wykreślamy} f_{16}(x) \\
punkt:(31,17^{2}-14^{2}) & \text {wykreślamy} f_{17}(x) \\
punkt:(37,20^{2}-17^{2}) & \text {wykreślamy} f_{20}(x) \\
punkt:(41,22^{2}-19^{2}) & \text {wykreślamy} f_{22}(x) \\
itd. \\
\end{tabular}}\)
Bierzemy kolejną liczbę pierwszą 5, rysujemy prostą \(\displaystyle{ y=5x}\) przechodzącą przez punkty: (0,0) oraz (5,25) i w podobny sposób zaznaczamy kolejne punkty na wykresie. W następnej kolejności postępujemy podobnie dla kolejnych liczb pierwszych. Jeśli przyjrzeć się temu bliżej to intuicyjnie można dojść do wniosku że powyższa hipoteza jest bardzo prawdopodobna. Innym podejściem do tego zagadnienia może być próba udowodnienie że graficzne przedstawienie równania \(\displaystyle{ (\frac{b-a}{2}+a)^{2}=(\frac{b+a}{2})^{2}}\) jest fałszywe - gdyby to była prawda znaczyło by to że powyższa hipoteza jest fałszywa.