Kwadrat liczby naturalnej

[neron0308]

Czy można dobrać takie \(\displaystyle{ a>0}\), \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}}\) zależne od \(\displaystyle{ n}\) aby liczba \(\displaystyle{ (4n-4a+1)^{2} -4a^3 (4n+1)}\) była kwadratem liczby naturalnej?

[Medea 2]

Rozpisz to dla kilku pierwszych \(\displaystyle{ n}\) i zauważ, że do czegoś się zwija.

[neron0308]

Nie za bardzo widzę jak się zwija. Wychodzi kolejno :

\(\displaystyle{ n=1}\) : \(\displaystyle{ -20 a^3+16a^2-40a+25}\)

\(\displaystyle{ n=2}\) : \(\displaystyle{ -36a^3+16a^2-72a+81}\)

\(\displaystyle{ n=3}\) : \(\displaystyle{ -52a^3+16a^2-104a+169}\)

\(\displaystyle{ n=4}\) : \(\displaystyle{ -68a^3+16a^2-136a+289}\)

Co z tym trzeba teraz zrobić?

[Medea 2]

Kolejno \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3, 4}\):

\(\displaystyle{ (5 - 4 a)^2 - 20 a^3}\)
\(\displaystyle{ (9 - 4 a)^2 - 36 a^3}\)
\(\displaystyle{ (13 - 4 a)^2 - 52 a^3}\)
\(\displaystyle{ (17 - 4 a)^2 - 68 a^3}\)

[neron0308]

Ale z tego nie widać jakie musi być a, by całość była kwadratem liczby naturalnej.

-- 15 gru 2014, o 21:00 --

Ale widać, że takie a nie istnieje, bo te wyrażenia nie będą dodatnie dla a naturalnych.-- 15 gru 2014, o 21:56 --A czy dałoby się zrobić podobnie, tzn. wyznaczyć a za pomocą n by liczba \(\displaystyle{ (4n-4a+1)^{2} +4a^3 (4n+1)}\) (teraz z +) była kwadratem liczby naturalnej?

[Medea 2]

Czy nie istnieją, to bym się spierała, czwarte jest jak najbardziej dodatnie dla \(\displaystyle{ a=1}\).

Jeżeli wstawisz tam plus, to zadanie się trywilizuje. Oznaczę Twoje wyrażenie przez \(\displaystyle{ f(n, a)}\). Fakt: \(\displaystyle{ f(n, 2) = (9+4n)^2}\).