Symbol Newtona

[Mateusz42]

Niech \(\displaystyle{ n,k \in \mathbb{N} \cup \{0\} \> n \geq k}\). Udowodnić, że wartość symbolu Newtona \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) jest zawsze liczbą naturalną.

Znalazłem już to zadanie tutaj : 28766.htm?hilit=symbol%20Newtona%20naturalna , ale podana wskazówka nie za bardzo mi pomogła.

Robię indukcję ze względu na n :

1) Sprawdzenie dla n = 0
\(\displaystyle{ {0 \choose 0} = 1 \in \mathbb{N}}\)
2) Założenie :
\(\displaystyle{ {n \choose k} \in \mathbb{N}}\)
3) Teza :
\(\displaystyle{ {n +1 \choose k} \in \mathbb{N}}\)
4) Dowód:
\(\displaystyle{ L = {n +1 \choose k} = \frac{(n+1)!}{k! (n + 1 - k)!} = \frac{(n+1) n!}{(n - k + 1) k! (n-k)!} = \frac{n + 1}{n +1 - k} \frac{n!}{(n-k)! k!} = ...}\)

Drugi czynnik z założenia należy do liczb naturalnych. Jak pokazać, że pierwszy również należy ?

[Medea 2]

Za słabe założenie. Załóż, że symbol Newtona jest l. całkowitą dla ustalonego górnego indeksu, \(\displaystyle{ n-1}\) i dowolnego dolnego, \(\displaystyle{ k}\). Wtedy \(\displaystyle{ n}\) nad \(\displaystyle{ k}\) też będzie całkowity.

[Mateusz42]

Czyli mam :

2) Założenie:
\(\displaystyle{ { n -1 \choose k} \in \mathbb{Z}}\) (Dla dowolnego k, czyli również \(\displaystyle{ {n -1 \choose k - 1} \in \mathbb{Z}}\) )
3) Teza :
\(\displaystyle{ { n \choose k} \in \mathbb{Z}}\)
4) Dowód:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n - 1 \choose k} + { n -1 \choose k - 1} \in \mathbb{Z}}\) jako suma dwóch liczba całkowtych.

Pierwszy krok indukcyjny trzeba wykonać od nowa ?

[Ponewor]

Można też kombinatorycznie wykazać, że \(\displaystyle{ \binom{n}{k}}\) jest liczbą sposobów na które można wybrać \(\displaystyle{ k}\) elementów spośród \(\displaystyle{ n}\), a stąd oczywiście jest liczbą naturalną.

[Mateusz42]

Dziękuję