Podzielność liczby przez 2 i 3

[laser15]

Witam, mam podany następujący fakt:
Jeżeli \(\displaystyle{ k=23}\) to dla każdej naturalniej liczby \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ k+2^n}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 3}\) lub jest liczbą pierwszą.

Z czego to wynika?

[kerajs]

\(\displaystyle{ 23+2=5 \cdot 5 \\
23+4=3 \cdot 9 \\
23+8=31}\) to jest l. pierwsza
\(\displaystyle{ 23+16=3 \cdot 13 \\
23+(16) ^{k}=23+(3 \cdot 5+1)^{k}=23+3 \cdot 5 \cdot N+1 =3 \cdot (5N+8) \\
23+(16) ^{k+1}=23+(3 \cdot 5+1)^{k+1}=23+(3 \cdot 5 \cdot N+1) \cdot 2 =5 \cdot (10N+5)\\
23+(16) ^{k+2}=23+(3 \cdot 5+1)^{k+2}=23+(3 \cdot 5 \cdot N+1) \cdot 4 =3 \cdot (20N+9)\\
\\
23+(16) ^{k+3}=23+(3 \cdot 5+1)^{k+3}=23+(3 \cdot 5 \cdot N+1) \cdot 8 =120N+31}\)
Teraz zadanie sprowadza się do dowodu że dla dowolnej naturalnej n
\(\displaystyle{ 23+8 \cdot (16) ^{n}}\) jest liczbą pierwszą.
Ja nie wiem jak to wykazać dla dowolnej n. Jeśli nikt się nie wypowie to napisz nowy temat tylko z tym problemem.
To, że dla kilku liczb naturalnych wzór daje liczbę pierwszą, nie oznacza że tak jest dla dowolnej n.

[Ponewor]

Oczywiście, że to nieprawda - dla \(\displaystyle{ 4\mid n+1}\) podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\) nie zachodzi. Gdyby więc istniała tak prosta formuła na liczby pierwsze, to na pewno byśmy coś o niej słyszeli.

A bardziej namacalny argument to
\(\displaystyle{ 2^{11}+23=19 \cdot 109}\)