Równanie w liczbach całkowitych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
chlopina

Równanie w liczbach całkowitych

Post autor: chlopina »

Rozwiązać to równanie dla liczb naturalnych a,b,c
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} = 1}\)
Ostatnio zmieniony 9 gru 2014, o 18:41 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie w liczbach całkowitych

Post autor: kerajs »

To trójki
\(\displaystyle{ (3,3,3) (2.4,4) (2,3,6)}\)
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Równanie w liczbach całkowitych

Post autor: bakala12 »

Dobrze. To może warto wyjaśnić jak kerajs otrzymał ten wynik.
Nie tracąc ogólności ogólności rozumowania możemy założyć, że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\).
Wówczas możliwe są następujące przypadki:
1. \(\displaystyle{ a>3}\). Wówczas \(\displaystyle{ b,c > 3}\) i lewa strona jest mniejsza niż jeden, zatem rozwiązań w tym przypadku nie ma.
2. \(\displaystyle{ a=3}\). Wówczas jeżeli \(\displaystyle{ b>3}\) to także \(\displaystyle{ c>3}\) i jak wyżej rozwiązań nie ma. Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ b=3}\) i stąd \(\displaystyle{ c=3}\) i znaleźliśmy jedno z rozwiązań.
3. \(\displaystyle{ a=2}\). Znów podobnie jak wyżej rozważamy podprzypadki:
3.1 \(\displaystyle{ b>4}\), tutaj rozwiązań nie będzie.
3.2 \(\displaystyle{ b=4}\), mamy trójkę \(\displaystyle{ \left( 2,4,4\right)}\)
3.3 \(\displaystyle{ b=3}\), mamy trójkę \(\displaystyle{ \left( 2,3,6\right)}\)
3.4 \(\displaystyle{ b=2}\), tutaj nie ma rozwiązań
4. Pozostało sprawdzić \(\displaystyle{ a=1}\) i tu natychmiast widać że rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich nie będzie.
Stąd wymienione wyżej trójki to rozwiązania i innych nie ma. Uwalniając się wreszcie od założenia \(\displaystyle{ a \le b \le c}\) dostajemy wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left( a,b,c\right): \left( 3,3,3\right),\left( 2,4,4\right) , \left( 4,2,4\right), \left( 4,4,2\right) ,\left( 2,3,6\right), \left( 2,6,3\right) ,\left( 3,2,6\right),\left( 3,6,2\right),\left( 6,2,3\right) ,\left( 6,3,2\right)}\)
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Jak to rozwiązać?

Post autor: Chewbacca97 »

kerajs pisze:To trójki
\(\displaystyle{ (3,3,3) (2,4,4) (2,3,6)}\)
oraz ich permutacje są rozwiązaniami danego równania. Swego czasu, przy podobnym zadanku zostałem pocięty za to, że nie napisałem "ich permutacje"...
Zarys rozwiązania:    
ODPOWIEDZ