Układ równań diofantycznych

[mol_ksiazkowy]

Rowiązać układ równań
w zbiorze Z
\(\displaystyle{ x+y+z=8= x^3+y^3+z^3}\)

[arek1357]

\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz}\)

\(\displaystyle{ 8=8[(x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)]+3xyz]}\)

\(\displaystyle{ 8=8 \cdot 64-24(xy+xz+yz)+3xyz}\)

\(\displaystyle{ 8(xy+xz+yz)+xyz=168}\)

podstawiam \(\displaystyle{ z=8-x-y}\)

i mam po przekształceniach:

\(\displaystyle{ 8[xy+8(x+y)-(x+y)^2]+8xy-xy(x+y)=168}\)

podstawiam:

\(\displaystyle{ x+y=a , xy=b}\)

i upraszczam:

\(\displaystyle{ -b(a-16)=8(a^2-8a+21)}\)

lub inaczej:


\(\displaystyle{ -b=8a+64+ \frac{8 \cdot 149}{a-16}}\)

I teraz masę dzielników liczby w liczniku i sporo przypadków coś mnie to nie kręci tyle liczyć

szesnaście przypadków.
A potem jeszcze układ równań

\(\displaystyle{ x^2-ax+b=0}\)

\(\displaystyle{ D= \sqrt{a^2-4b}}\)

Pierwiastek całkowity podstawą sukcesu czyli istnienia rozwiązania równania