Udowodnij niewymiernosc modulo

[bartiz12]

Witam, zastanawiam się, jak mogę rozwiązać pewne zadanie:

\(\displaystyle{ x = 2 mod 10}\)

Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest niewymierną liczbą.
Rozpisałem go więc jako \(\displaystyle{ \sqrt{x}= \frac{p}{q}}\),
z czego wynika, że \(\displaystyle{ p^{2}=q^{2}*x}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ x}\) i otrzymuję: \(\displaystyle{ 2*p^{2}=q^{2}mod10}\)
Teraz mam pytanie, co dalej ?

[Majeskas]

Kwadraty modulo \(\displaystyle{ 10}\) to: \(\displaystyle{ 0,1,4,5,6,9}\).

[bartiz12]

A co dalej? Kwadrat modulo musi wynosić \(\displaystyle{ 2}\), żeby warunek był spełniony? Prosiłbym w miarę o pełne wytłumaczenie, gdyż nie widzę tego tutaj.

[norwimaj]

Pierwiastek z liczby naturalnej jest zawsze albo liczbą naturalną, albo niewymierną. Dlatego wystarczy wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, co właśnie uczynił Majeskas.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{Z}\quad x^2\bmod 10\in\left\{ 0,1,4,5,6,9\right\}}\)
Jeśli więc \(\displaystyle{ x^2\bmod 10=2}\), to \(\displaystyle{ x\notin\mathbb{Z}}\). Pozostaje tylko stwierdzić, że pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej może być albo liczbą naturalną, albo niewymierną.

[bartiz12]

Dobrze, wydaje mi się, że rozumiem już coś. Pozostaje wbić sobie do głowy te zasady rozumowania Dzięki za pomoc!