zadnie z podzielności

[matematyka464]

Cześć
Rozważmy.
Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ b^n+1}\) to:
(1)\(\displaystyle{ p|b^d +1}\) dla pewnego właściwego dzielnika liczby n takiego, że \(\displaystyle{ \frac{n}{d}}\) jest nieparzyta lub:
(2) \(\displaystyle{ p = 1 (\mod 2n)}\)
Moje rozwiązanie:
Rozważmy dwa przypadki:
1) p nieparzyste:
Jeżeli tak, to spełnione jest (2), zatem implikacja prawdziwa.
Załóżmy zatem, że p jest parzyste.
No, ale przecież p jest pierwszą, zatem p=2.
Skoro p dzieli \(\displaystyle{ b^n +1}\) oznacza to, że b jest nieparzyste.
No ale stąd odrazu wynika, że \(\displaystyle{ b^d + 1}\) jest parzysta, a zatem dzieli się przez p.

Teraz pytanie, gdzie robię błąd w rozumowaniu? Dlaczego uważam, że rozumowanie jest błędne? Zupełnie nie korzystam z założenia o d.

[Premislav]

Jeżeli tak, to spełnione jest (2), zatem implikacja prawdziwa.

Dla \(\displaystyle{ n}\) większego od \(\displaystyle{ 1}\) nie ma tak łatwo. Z tego, że \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste, nie wynika np., że daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4.}\)
Druga część rozumowania OK.

[matematyka464]

masz rację. Czy możesz mi z tym pomóc?

[Ponewor]

Garść luźnych wskazówek:
Zaprzecz jednemu z warunków i pokaż, że wtedy musi zachodzić drugi.
Przydadzą Ci się małe twierdzenie Fermata, pojęcie najmniejszej liczby dodatniej \(\displaystyle{ a}\), takiej, że \(\displaystyle{ p\mid b^{a}-1}\) (tudzież \(\displaystyle{ b^{a}+1}\), zależy jak poprowadzisz rozumowanie). Zastosowanie może znaleźć też pospolity wzór \(\displaystyle{ \left(a+1\right)\left(a-1\right)=a^{2}-1}\) - właśnie tak z \(\displaystyle{ n}\) można przejść do \(\displaystyle{ 2n}\) a chcielibyśmy jakiś związek między tymi liczbami znaleźć, bo obie pojawiają się w zadaniu.

[matematyka464]

Muszę Cię niestety poprosić o trochę więcej pomocy

[Ponewor]

Przepraszam, że mimo obietnicy nie odpowiadałem, byłem mocno zajęty w ostatnim czasie.

Załóżmy, że warunek (1) nie zachodzi. Z \(\displaystyle{ p\mid b^{n}+1}\), mamy że \(\displaystyle{ p\mid b^{2n}-1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ 2n}\) jest najmniejszą liczbą całkowitą \(\displaystyle{ t}\) taką, że \(\displaystyle{ p\mid b^{t}-1}\).

Wskazówka - Najpierw jeśli nie znasz tego faktu udowodnij, że \(\displaystyle{ t\mid 2n}\). Potem udowodnij, że \(\displaystyle{ t}\) jest parzyste.