Czy to jest dowód na jednoznaczność elementu przeciwnego?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Marcgal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 14 maja 2011, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 6 razy

Czy to jest dowód na jednoznaczność elementu przeciwnego?

Post autor: Marcgal »

Na aksjomatach liczb rzeczywistych wyprowadzić \(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a=-a}\). -1 jest elementem przeciwnym do 1, i niech \(\displaystyle{ b,c}\) tże \(\displaystyle{ a+b=0\wedge a+c=0}\) - istnienie takich elementów gwarantuje nam aksjomat.

No więc:
\(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a= \left(-1\right)\cdot a + 0 = a\cdot \left(-1\right) + \left(a + b\right)=\left(a\cdot\left(-1\right)+a\cdot 1\right)+b=a\left(-1+1\right)+b=a\cdot 0+b=b}\)

(twierdzenie, że \(\displaystyle{ a\cdot0=0}\) potrafię udowodnić)

Analogicznie wychodzi, że \(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a=c}\); a więc mamy \(\displaystyle{ b=\left(-1)\cdot a=c}\).

Czy to można uważać za poprawny logicznie dowód jednoznaczności elementu przeciwnego?
ODPOWIEDZ