Na aksjomatach liczb rzeczywistych wyprowadzić \(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a=-a}\). -1 jest elementem przeciwnym do 1, i niech \(\displaystyle{ b,c}\) tże \(\displaystyle{ a+b=0\wedge a+c=0}\) - istnienie takich elementów gwarantuje nam aksjomat.
No więc:
\(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a= \left(-1\right)\cdot a + 0 = a\cdot \left(-1\right) + \left(a + b\right)=\left(a\cdot\left(-1\right)+a\cdot 1\right)+b=a\left(-1+1\right)+b=a\cdot 0+b=b}\)
(twierdzenie, że \(\displaystyle{ a\cdot0=0}\) potrafię udowodnić)
Analogicznie wychodzi, że \(\displaystyle{ \left(-1\right)\cdot a=c}\); a więc mamy \(\displaystyle{ b=\left(-1)\cdot a=c}\).
Czy to można uważać za poprawny logicznie dowód jednoznaczności elementu przeciwnego?